Convergenza serie

[ivandimeo]

salve avrei bisogno del vostro aiuto sullo studio della convergenza della serie:
$\sum_{n=1}^{\infty }n sin( \frac{n}{1+n^{3}} )$

sappiamo che la serie è a termini positivi.
utilizzando il confronto asintotico...
quindi abbiamo che la il termine generale della serie data è asintotico a:
$nsin\ ( \frac{n}{1+n^{3}} )\sim \frac{1}{n}$

cioè
$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n}$
che essendo una serie armonica diverge, quindi la serie data diverge...

è giusto..
fatemi sapere..
grazie..

[marco.ceccarelli]

Secondo me, dici giusto.

[ivandimeo]

mi potresti dire perchè
$nsin\ ( \frac{n}{1+n^{3}} )\sim \frac{1}{n$

poichè c'è la detto il professore ma non ho capito cosa ha fatto..
se mi potete aiutare..
grazie..

[marco.ceccarelli]

Quando una serie è difficile, puoi vedere la convergenza di una serie ad essa asintotica: il comportamento sarà identico. Il seno di una funzione, se la funzione tende a zero, è asintotico alla funzione stessa. Nella fattispecie, poiché l'argomento del seno $n/(1+n^3)$ tende a zero, per n tendente ad infinito, puoi dire che la serie associata a $n*sin(n/(1+n^3))$ è asintotica alla serie associata a $n*(n/(1+n^3))$, che puoi vedere, moltiplicando il moltiplicabile, come $n^2/(1+n^3)$; quest'ultima funzione è, a sua volta, asintotica alla funzione $n^2/n^3$, essendo 1 trascurabile rispetto a n tendente ad infinito, e semplificando il semplificabile ottieni la funzione $1/n$. Ora non dovrai far altro che considerarne la serie associata, che ovviamente diverge per confronto con la serie armonica.

[asker993]

la serie converge per $n->+infty$ se $lim_{n->+infty}n sin( \frac{n}{1+n^{3}} )<(1/n)$ se tende a $1/n$ diverge e anche se è maggiore...è arrivato a dire quello perchè è un limite notevole per $n->+infty$ $sen(n/(n^(3)+1))$ è asintotico a $sen(1/n^2)$ e allora prova a fare un cambio di variaibli impostanto $(1/n)=y$ con $y->0$

[ivandimeo]

Scusate ma mi potete spiegare meglio...
Non sto riuscendi a capire cosa ha fatto il profesore..
Se mi potete aiutare..
Grazie..