Convergenza serie

[Maryse1]

Si determini per quali x la serie converge e calcolarne la somma.

$ sum_(n = 1) ^∞ 4^n/(n+1)*(1-x)^n $

allora per prima cosa devo verificare la condizione necessaria, ovvero che il termine generico della serie tende a 0. Quindi:

$ lim_(n -> ∞) (4(1-x))^n/(n+1)=0 $

quindi devo trovare i valori di x per cui i limite tende a zero..e poi come proseguo, controllando se per tali valori la serie converge o meno?

[Noisemaker]

Allora, poni per semplicità $(1-x)=t;$ hai che:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4^nt^n}{n+1}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(4t)^n}{n+1},
\end{align}
che non è una serie a termini positivi; considerando il valore assoluto del termine generale, hai che:
\begin{align}
\left|\frac{(4t)^n}{n+1}\right|=\frac{\left|4t\right|^n}{n+1};
\end{align}
a questo puntoi hai una serie a termini positiv, e quindi ad esempio, puoi applicare il criterio della radice:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left|4t\right|^n}{n+1}\stackrel{Sqrt}{\Longrightarrow}\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\frac{\left|4t\right|^n}{n+1}}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\left|4t\right|}{\sqrt[n]{n+1}}=\left|4t\right|=\begin{cases}\mbox{se}\quad \left|4t\right|<1,\quad\mbox{converge;}\\
\mbox{se}\quad \left|4t\right|=1,\quad\mbox{criterio inefficace;}\\
\mbox{se}\quad \left|4t\right|>1,\quad\mbox{non converge;}\end{cases}.
\end{align}
quindi in definitiva la serie convege se $$ |4t |<1 \quad\Leftrightarrow\quad|4-4x|<1 \quad\Leftrightarrow\quad3/4 Si tratta ora di capire cosa succede nel caso in cui il criterio della radice fallisce, cioè nei casi in cui $x=3/4$ e $x=5/4.$ Allora, se $x=3/4,$ la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n+1}\to\mbox{non converge;}
\end{align}
se $x=5/4,$ la serie diventa:
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}\to\mbox{ converge per Leibniz.}
\end{align}
In conclusione hai che la serie converge per $x\in(3/4;5/4].$

[Maryse1]

Capito tutto, grazie mille per lo svolgimento dell'esercizio