Convergenza serie

[xp92]

buongiorno,
come posso fare per dimostrare che questa serie converge
$ sum_( = \ldots) 1/(e^(n^2) n^(2a) log n) $ n da 2 all' infinito
grazie

[Noisemaker]

usando semplicemente il criterio del rapporto....ad esempio

[xp92]

ma il limite non risulta 1?
tipo log(n+1) si comporta come log (n) ecc ecc si semplifica tutto. cosa sbaglio??

[Noisemaker]

... fai tutti passaggi

[xp92]

è giusto se esce
$ lim 1/ e^(2n+1)=0 $ ??
e poi un'ultima cosa, in generale se ho una serie e voglio conoscerne il carattere è sbagliato studiare il carattere di una serie i cui termini sono asintotici a quella data?
grazie

[Noisemaker]

no non è sbagliato, perchè?
per la tua serie hai che, aplicando il criterio del rapporto
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^2}n^{2a} \ln n}{e^{(n+1)^2}(n+1)^{2a} \ln(n+1)} &= \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^2}n^{2a} \ln n}{e^{n^2+2n+1}(n+1)^{2a} \ln(n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^2}n^{2a} \ln n}{e^{n^2}\cdot e^{2n}\cdot e \cdot (n+1)^{2a} \ln(n+1)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^2} }{e^{n^2} }\cdot \frac{ n^{2a} }{ (n+1)^{2a} } \cdot \frac{ \ln n}{ \ln(n+1)} \cdot \frac{ 1}{ e^{2n}\cdot e } \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ 1}{ e^{2n}\cdot e } = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{ 1}{ e^2 }\right)^n \cdot e =0
\end{align}

[xp92]

pensavo fosse sbagliato perchè al posto di applicare i criteri spesso mi viene da scrivere una serie che ha i termini asintotici a quella data, però mi sembra una scorciatoia, tipo in questo caso avrei scritto subito la serie
$ sum(1/e^(n^2)) $
che presa come serie geometrica converge. non è un tipo di ragionamento più semplice se è possibile farlo??

[xp92]

scusami non ho capito se come tipo di ragionamento posso farlo oppure no, grazie