Convergenza seria (esponenziale e seno)

[libo93]

Buongiorno a tutti!
Non so come verificare la convergenza di questa serie: $ sum_(n = 1) ^(+oo)4^nsen(1/5^n) $

La condizione necessaria per la convergenza mi risulta verificata.
Ho verificato che è una serie a termini positivi.

Come posso dimostrare la convergenza?

Grazie!!

[Mephlip]

Ciao! Puoi usare la disuguaglianza seguente: per ogni $t \ge 0$, risulta $\sin t \le t$.

[libo93]

E il $ 4^n $ ?

[pilloeffe]

Ciao vollie.2,

"vollie.2":Come posso dimostrare la convergenza?

Per esempio col criterio del rapporto o col criterio della radice...
Facendo uso del suggerimento che ti ha già dato Mephlip poi dovresti riuscire anche a trovare una limitazione superiore alla serie proposta.

[libo93]

Se ad esempio usassi il criterio del rapporto, mi verrebbe:

$ a_(n+1)=4^(n+1)sen(1/5^(n+1)) $

$ a_(n+1)/a_n=(4^(n+1)sen(1/5^(n+1)))/(4^(n)sen(1/5^(n)))=4(sen(1/5^(n+1)))/(sen(1/5^(n)) $

Poi non saprei come usare il primo suggerimento

[pilloeffe]

E non ti viene proprio in mente un limite notevole col $sin $?

[Mephlip]

"vollie.2":E il $ 4^n $ ?

In ogni disuguaglianza, puoi moltiplicare ambo i membri per una quantità non negativa e ottenere una disuguaglianza equivalente.

[libo93]

Sono riuscita!

$ lim_(x -> +oo ) a_(n+1)/a_n=4/5<1 $

per il criterio del rapporto converge la serie!

Grazie mille ad entrambi!!

[pilloeffe]

"vollie.2":Grazie mille ad entrambi!!

Prego!

"pilloeffe":Facendo uso del suggerimento che ti ha già dato Mephlip poi dovresti riuscire anche a trovare una limitazione superiore alla serie proposta.

Quello che volevo dirti qui è che puoi mostrare la convergenza anche col criterio del confronto:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} 4^n sin(1/5^n) <= \sum_{n = 1}^{+\infty} (4/5)^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (4/5)^n - 1 = 1/(1 - 4/5) - 1 = 5 - 1 = 4 $

[libo93]

Ah ok! Non avevo colto quel passaggio. Il criterio del confronto mi sa che me lo devo riguardare per bene
Grazie ancora!