Convergenza semplice/totale (esercizio)

[valentina921]

Salve a tutti,
pensavo di aver capito la differenza tra convergenza semplice (e assoluta) e totale (riguardo a serie di funzioni). Vi riporto la definizione di convergenza totale che ho sempre considerato: $sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ converge totalmente in un intervallo $I$ se $sum_{n=0}^\infty SUP|f_n(x)|<\infty$. Ora, mi sono trovata questo esercizio:
"Determinare l'intervallo di convergenza assoluta e poi quello di convergenza totale della serie:

$sum_{n=1}^\infty 3^n sen(x/4^n)$ ".

Per il criterio del confronto, vedo che $sum_{n=1}^\infty |3^n sen(x/4^n)| Ora devo studiare la convergenza totale; però, secondo la definizione che ho usato prima, per vedere la convergenza totale devo studiare la convergenza della serie maggiorante, ma è quello che ho appena fatto per trovare quella assoluta (o semplice, se la serie fosse stata a termini positivi) ! Sono confusa, qual è la differenza? Anche nel modo di risolvere un esercizio come questo?

Grazie in anticipo

Valentina

[valentina921]

Qualcuno mi può aiutare?

[ciampax]

La disuguaglianza che hai scritto è sbagliata: se provi a calcolare il massimo delle funzioni $f_n(x)$ (facendo la derivata) ti accorgi che esso vale $3^n$ per cui non è vero che $|f_n(x)|\le (3/4)^n$. Usando la disuguaglianza corretta ti accorgi che la serie non converge totalmente. Però potrebbe convergere uniformemente (ricorda che "convergenza totale" implica "convergenza uniforme" e non è vero il viceversa).

Non ho capito come vorresti verificare la convergenza uniforme però: per prima cosa dovresti vedere qual è l'insieme di convergenza puntuale, per poi capire cosa accade.

[valentina921]

Ho scritto che $sum_{n=1}^\infty |3^n sen(|x|/4^n)|

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[ciampax]

Sì, ho capito come hai fatto, ma ripeto, credo sia sbagliato. Il senso è questo: tu sai che la tua funzione, calcolando il massimo e il minimo, è tale che $|f|\le M$. Ora trovi un valore dipendente da $|x|$ e affermi che $|f|\le c(|x|)$. Se fosse come dici tu, allora dovrebbe essere o

$Mc(|x|)$ per ogni valore di $x$ e questo mi sembra falso.

Ti è chiaro?

[valentina921]

Ah ok. Adesso ho capito. Ora lo rifaccio alla luce di queste considerazioni. Grazie mille!