Convergenza semplice ed uniforme

[Chicco_Stat_1]

salve a tutti.. sono ancora alle prese con le successioni e serie di funzioni, e vi chiedo una mano

devo stabilire l'insieme di convergenza semplice per la successione

$sqrt(n)*x*e^(-n^2*x)$

ho ragionato così:

$lim_(n->oo) sqrt(n)*x*e^(-n^2*x)=$

$0$ per $x=0$ (banalmente la successione è sempre nulla)
$-oo$ per $x<0$
$0$ per $x>0$

dunque concludo che l'insieme di convergenza semplice è $x>=0$

per quanto riguarda invece la convergenza uniforme come mi devo muovere? ho le definizioni ma non riesco a trovare il bandolo della matassa

ed infine devo stabilire l'insieme di convergenza semplice ed uniforme della serie

$sum_(n=0)^oo sqrt(n)*x*e^(-n^2*x)$

potreste darmi qualche indicazione? grassie

[gugo82]

Visto che $f$ è positiva e converge all'applicazione nulla puoi procedere così.

Trova il massimo in $[0,+oo[$ di ogni $f_n$ (questo lo puoi fare analizzando le derivare prime e seconde): tali massimi dipendono dall'indice $n$ e si possono ordinare in successione; se la successione dei massimi è infinitesima allora la tua successione di funzioni converge uniformemente in tutto $[0,+oo[$.

Ad esempio, in questo caso hai: $AAn in NN$,

$f'_n(x)=sqrtn*e^(-n^2x)*(1-n^2*x)$ quindi

$f'_n(x)=0$ se e solo se $1-n^2*x=0$ se e solo se $x=1/(n^2)$;

$f''_n(x)=sqrtn*e^(-n^2x)*[-2n^2x-n^2(1-n^2*x)]=-n^2sqrtn*e^(-n^2x)*[(2-n^2)*x+1]$ quindi

$f''_n(1/(n^2))=-n^2sqrtn*e^(-1)*2/(n^2)<0$;

ne consegue che in $x=1/(n^2)$ la $f_n$ ha un punto di massimo il cui valore è $f_n(1/(n^2))=(sqrtn)/(n^2*e)=1/(nsqrtn*e)$.
Si vede facilmante che il massimo raggiunto da $f_n$ nel suo unico estremale è il massimo assoluto di $f_n$ in $[0,+oo[$, pertanto puoi scrivere:

$AAn in NN,quad M_n="max " f_n=1/(nsqrtn*e)$

e vedi immediatamente che $M_nrarr 0$.

Però hai anche $"max " |f_n-0|="max " f_n=M_n$ ed in virtù del fatto che $(M_n)$ è una successione infinitesima, comunque fissi $epsilon >0$ puoi determinare $nu in NN$ in modo che:

$AA n>nu,quad "max " |f_n-0|
ciò significa che $(f_n)$ converge uniformemente a zero in $[0,+oo[$.

[Chicco_Stat_1]

ti devo un favore.

grazie mille sei stato chiarissimo

[gugo82]

Prego.
Ah, per quanto riguarda la serie, essa converge addirittura totalmente in $[0,+oo[$ poichè è maggiorata termine a termine dalla serie $sum 1/(nsqrtn*e)$ (i cui addendi sono i massimi delle $f_n$) la quale è multipla della serie armonica generalizzata di esponente $alpha=3/2>1$ e perciò converge.


Vorrei far notare che questo metodo consente di risolvere il problema della convergenza uniforme per successioni di funzioni nel caso generale.
Supponiamo che $(f_n)$ converga puntualmente in $I$ verso $f$. Per determinare se la convergenza è uniforme in tutto $I$ si procede così:

1) si determina, per ogni indice $n$, il massimo assoluto di $|f_n-f|$ in $I$ (qui, se le funzioni $f_n$ ed $f$ sono abbastanza regolari, puoi anche usare le derivate come abbiamo fatto nell'esercizio risolto) e si ordinano tali massimi in una successione;

2) si presentano due eventualità: a) se la successione dei massimi assoluti converge a zero, allora $f_nrarr f$ uniformemente in $I$; b) se la successione dei massimi assoluti non è infinitesima, allora $(f_n)$ non converge uniformemente verso $f$ in tutto $I$ (ma potrebbe eventualmente farlo su una parte propria $Jsubset I$ e questo problema di convergenza è un po' più difficile da studiare in generale).