Convergenza semplice ed assoluta, criterio di Leibniz.
Salve a tutti. Volevo chiedere una delucidazione sull'uso del criterio di Leibniz per determinare la convergenza di una serie a termini alternati, dato che ci siamo scivolati sopra in mezz'ora di lezione e ora mi trovo una dozzina di esercizi in cui questo criterio deve essere applicato.
Se la mia serie è del tipo $sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*a(n)$, vorrei sapere (praticamente) i passaggi da fare per determinarne convergenza semplice ed eventualmente assoluta. Ringrazio chi avesse la pazienza di rispondermi.
Se la mia serie è del tipo $sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*a(n)$, vorrei sapere (praticamente) i passaggi da fare per determinarne convergenza semplice ed eventualmente assoluta. Ringrazio chi avesse la pazienza di rispondermi.
Risposte
Per prima conviene che ti studi la convergenza assoluta, poiché se la serie converge assolutamente, converge anche semplicemente.
Per una serie a termini di segno alternato, studiare la convergenza assoluta equivale a studiare solo $a_n$ poichè il $(-1)^n$, preso in valore assoluto, corrisponde ad $1$.
Se ti converge assolutamente, non hai bisogno di applicare Leibniz, perché sai già che la serie ti converge anche semplicemente.
Qualora non ti converga assolutamente, vai con Leibniz. In base a questo criterio devi verificare che $a_n$ sia infinitesimo, e che $a_(n+1)<=a_n$ ovvero devi trovarti di fronte una successione monotona non crescente.
Spero di essere stato chiaro, ciao.
Per una serie a termini di segno alternato, studiare la convergenza assoluta equivale a studiare solo $a_n$ poichè il $(-1)^n$, preso in valore assoluto, corrisponde ad $1$.
Se ti converge assolutamente, non hai bisogno di applicare Leibniz, perché sai già che la serie ti converge anche semplicemente.
Qualora non ti converga assolutamente, vai con Leibniz. In base a questo criterio devi verificare che $a_n$ sia infinitesimo, e che $a_(n+1)<=a_n$ ovvero devi trovarti di fronte una successione monotona non crescente.
Spero di essere stato chiaro, ciao.
"Bob_inch":
Per prima conviene che ti studi la convergenza assoluta, poiché se la serie converge assolutamente, converge anche semplicemente.
Per una serie a termini di segno alternato, studiare la convergenza assoluta equivale a studiare solo $a_n$ poichè il $(-1)^n$, preso in valore assoluto, corrisponde ad $1$.
Se ti converge assolutamente, non hai bisogno di applicare Leibniz, perché sai già che la serie ti converge anche semplicemente.
Qualora non ti converga assolutamente, vai con Leibniz. In base a questo criterio devi verificare che $a_n$ sia infinitesimo, e che $a_(n+1)<=a_n$ ovvero devi trovarti di fronte una successione monotona non crescente.
Spero di essere stato chiaro, ciao.
Quindi, di fronte ad un problema del genere, mi preoccupo prima di $a_n$, per determinarne l'eventuale convergenza. Se non risulta essere assolutamente convergente, ricerco quella semplice. Ultima domanda: ma nella prima parte dell'esercizio, devo considerare $|a_n|$ vero (in modulo)?
Sì sì, $|a_n|$ in valore assoluto, mea dimenticanza.
"Bob_inch":
Sì sì, $|a_n|$ in valore assoluto, mea dimenticanza.
Grazie mille...
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