Convergenza semplice e uniforme di una serie di Fourier

[Giangia90]

Ciao a tutti! Sono nuovo e ho un disperato bisogno del vostro aiuto!
Ecco uno degli esercizi assegnati all'esame di Analisi 2:

Calcolare la serie di Fourier della funzione dispari 2[tex]\pi[/tex] periodica definita in ]0;[tex]\pi[/tex]] da
g(x)=[tex]\pi[/tex]-x
Si precisino gli insiemi di convergenza semplice ed uniforme.

La soluzione della prof è:
La serie di Fourier associata è 2 [tex]\sum[/tex] (sen(nx))/n e converge a f(x) per x [tex]\neq[/tex] 2k[tex]\pi[/tex]. In x = 2k[tex]\pi[/tex] converge
a 0. La convergenza e uniforme in ogni intervallo [a; b] che non contiene i punti 2k[tex]\pi[/tex].

Come ha fatto a trovare la convergenza semplice e uniforme, e soprattutto come ha trovato gli intervalli??
Grazie

[Rigel1]

Esistono un gran numero di teoremi di convergenza per le serie di Fourier (alcuni dei quali saranno stati almeno citati anche dalla tua docente). Ti cito i più semplici:
Per la convergenza puntuale: se in $x$ esistono le pseudoderivate sinistra e destra di $f$, allora la serie di Fourier converge a $\frac{f(x_+)+f(x_-)}{2}$ (valor medio del salto).
Per la convergenza uniforme: se [tex]f\in C^1([a,b])[/tex] (sarebbe meglio dire: se la restrizione di $f$ ad $[a,b]$ è di classe $C^1$) allora la sua serie di Fourier converge uniformemente in ogni intervallo $[c,d]$ con $a

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[Giangia90]

Grazie! Ora ho capito perché in x converge puntualmente a 0. Per la convergenza uniforme invece basta dire che converge uniformemente in tutti i punti tranne quelli di discontinuità, cioè x.

[Rigel1]

"Giangia90":Per la convergenza uniforme invece basta dire che converge uniformemente in tutti i punti tranne quelli di discontinuità, cioè x.

No. Converge nei compatti contenuti in $\RR \setminus \{"discontinuità"\}$.

[Giangia90]

Ok, quindi devo specificare tutto quello che hai scritto nella risposta precedente per quanto riguarda la convergenza uniforme. Grazie ancora!