Convergenza semplice e assoluta serie numerica
Devo calcolare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica a segni alterni:
[tex]\sum_{1}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{n^\alpha }sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex]
Ho provato a risolvere l'esercizio, ma ho dei dubbi a riguardo e non possiedo la soluzione dell'esercizio. Partiamo dalla convergenza assoluta, quindi considero il modulo di [tex]\frac{1}{n^\alpha }sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex], ma la serie è a termini positivi, visto che [tex]\frac{1}{n^\alpha }[/tex] è sempre maggiore di 0 per [tex]n \geq1[/tex] e [tex]sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex] assume solo valori positivi poichè al variare di n l'argomento del seno è compreso tra 0 e 1. Quindi studio la serie a termini positivi utilizzando il criterio del confronto asintotico, sviluppando secondo Taylor ottengo:
[tex]\frac{1}{n^\alpha }\frac{1}{n^\alpha }(1+o(1))=\frac{1}{n^2\alpha }[/tex]
Il termine ottenuto [tex]\frac{1}{n^2\alpha }[/tex] rappresenta una serie armonica generalizzata che converge solamente se [tex]2\alpha>1[/tex], quindi [tex]\alpha>1/2[/tex]. Pertanto per tale valore di [tex]\alpha[/tex] la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente. Cosa ho sbagliato?
[tex]\sum_{1}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{n^\alpha }sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex]
Ho provato a risolvere l'esercizio, ma ho dei dubbi a riguardo e non possiedo la soluzione dell'esercizio. Partiamo dalla convergenza assoluta, quindi considero il modulo di [tex]\frac{1}{n^\alpha }sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex], ma la serie è a termini positivi, visto che [tex]\frac{1}{n^\alpha }[/tex] è sempre maggiore di 0 per [tex]n \geq1[/tex] e [tex]sin \frac{1}{n^\alpha }[/tex] assume solo valori positivi poichè al variare di n l'argomento del seno è compreso tra 0 e 1. Quindi studio la serie a termini positivi utilizzando il criterio del confronto asintotico, sviluppando secondo Taylor ottengo:
[tex]\frac{1}{n^\alpha }\frac{1}{n^\alpha }(1+o(1))=\frac{1}{n^2\alpha }[/tex]
Il termine ottenuto [tex]\frac{1}{n^2\alpha }[/tex] rappresenta una serie armonica generalizzata che converge solamente se [tex]2\alpha>1[/tex], quindi [tex]\alpha>1/2[/tex]. Pertanto per tale valore di [tex]\alpha[/tex] la serie converge assolutamente e quindi anche semplicemente. Cosa ho sbagliato?
Risposte
ti sei posto il problema di verificare se ci sono valori di $alpha$ per i quali la serie converge solo semplicemente ?
conosci il criterio di Leibniz ?
conosci il criterio di Leibniz ?
Applicando Leibniz ottengo sempre che la serie converge per [tex]\alpha > \frac{1}{2}[/tex]
non direi proprio
la serie converge semplicemente per ogni $alpha>0$ in quanto la successione di termine generale $1/n^alphasen(1/n^alpha) $è decrescente ed ha come limite $0$
la serie converge semplicemente per ogni $alpha>0$ in quanto la successione di termine generale $1/n^alphasen(1/n^alpha) $è decrescente ed ha come limite $0$
Quindi per [tex]\alpha>0[/tex] ho convergenza semplice e per [tex]\alpha>\frac{1}{2}[\tex ho convergenza assoluta?
sì
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo