Convergenza semplice e assoluta della serie specifica
Ciao a tutti! Sono nuova!
Ci sarebbe qualcuno disposto a spiegarmi passaggio per passaggio come faccio a studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie nello specifico?
Serie da 0 a inf di ((-1)^n ) * ((e^n)/(2+3n*e^n))
So che in qualche modo devo usare Leibniz, ma mi é richiesto di studiare prima la conv assoluta, in modo tale che se trovo che converge assolutamente allora converge anche sempl. Altrimenti...
Grazie in anticipo..
(Non ho ancora dimestichezza con La Tex, ma mi sto informando.. Scusate)
Ci sarebbe qualcuno disposto a spiegarmi passaggio per passaggio come faccio a studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie nello specifico?
Serie da 0 a inf di ((-1)^n ) * ((e^n)/(2+3n*e^n))
So che in qualche modo devo usare Leibniz, ma mi é richiesto di studiare prima la conv assoluta, in modo tale che se trovo che converge assolutamente allora converge anche sempl. Altrimenti...
Grazie in anticipo..
(Non ho ancora dimestichezza con La Tex, ma mi sto informando.. Scusate)
Risposte
Certo che ti aiutiamo ma fai almeno un tentativo, coraggio!
Quanto alle equazioni non preoccuparti, riscrivo la tua semplicemente aggiungendo un segno dollaro all'inizio ed uno alla fine.
Ecco cosa accade:
$ ((-1)^n ) * ((e^n)/(2+3n*e^n)) $
Solo per dirti che è più facile di quel che credi.
Quanto alle equazioni non preoccuparti, riscrivo la tua semplicemente aggiungendo un segno dollaro all'inizio ed uno alla fine.
Ecco cosa accade:
$ ((-1)^n ) * ((e^n)/(2+3n*e^n)) $
Solo per dirti che è più facile di quel che credi.
Ahhhh.. Grazie 
Il punto è che dalla def dovrei fare il limite del valore assoluto della parte An (o almeno così mi é parso di capire) e non so come farlo, visto che per me è uguale alla An non in valore assoluto
Ammesso poi di risolvere il limite (a me viene 0, è giusto?), e dimostrato che si tratta di una funzione decrescente, vuol dire che converge assolutamente?
Il punto è che dalla def dovrei fare il limite del valore assoluto della parte An (o almeno così mi é parso di capire) e non so come farlo, visto che per me è uguale alla An non in valore assoluto
Ammesso poi di risolvere il limite (a me viene 0, è giusto?), e dimostrato che si tratta di una funzione decrescente, vuol dire che converge assolutamente?
Per avere la rappresentazione del valore assoluto basta che togli $(-1)^n$ ; resta quindi $a_n = e^n/(2+n3e^n)$ in quanto tutti gli altri elementi sono positivi.
Adesso puoi studiare la convergenza assoluta : considera che per $n rarr +oo $ , $a_n $ è asintotico a ........
da cui..
Adesso puoi studiare la convergenza assoluta : considera che per $n rarr +oo $ , $a_n $ è asintotico a ........
da cui..
Il limite é zero, giusto?
In alcuni casi le due cose coincidono.
Data una generica serie:
$ sum_(n = 0)^(oo) a_n $
la sua convergenza assoluta la provi così:
$ sum_(n = 0)^(oo) |a_n| $
Nel tuo caso si ha:
$ sum_(n = 0)^(oo) a_n = sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n * (e^n)/(2+3n*e^n) $
e
$ sum_(n = 0)^(oo) |a_n| = sum_(n = 0)^(oo) (e^n)/(2+3n*e^n) $
Ovvero hai due oggetti differenti.
Il limite è semplice, viene $ 0 $, esatto, infatti per $ n \rightarrow oo $ elimini il $ 2 $ a denominatore, semplifichi tra lori i due $ e^n $ e ti rimane $ 1 /(3n) $.
Infine attenzione: $ sum_(n = 0)^(oo) 1/n $ non converge mica! Riguarda i tuoi appunti.
E, se posso permettermi, questo forum non è un essemmesse: ti leggiamo volentieri.
Data una generica serie:
$ sum_(n = 0)^(oo) a_n $
la sua convergenza assoluta la provi così:
$ sum_(n = 0)^(oo) |a_n| $
Nel tuo caso si ha:
$ sum_(n = 0)^(oo) a_n = sum_(n = 0)^(oo) (-1)^n * (e^n)/(2+3n*e^n) $
e
$ sum_(n = 0)^(oo) |a_n| = sum_(n = 0)^(oo) (e^n)/(2+3n*e^n) $
Ovvero hai due oggetti differenti.
Il limite è semplice, viene $ 0 $, esatto, infatti per $ n \rightarrow oo $ elimini il $ 2 $ a denominatore, semplifichi tra lori i due $ e^n $ e ti rimane $ 1 /(3n) $.
Infine attenzione: $ sum_(n = 0)^(oo) 1/n $ non converge mica! Riguarda i tuoi appunti.
E, se posso permettermi, questo forum non è un essemmesse: ti leggiamo volentieri.
Quindi converge solo semplicemente?
Continuo a non capire però.. Se il limite del valore assoluto è 0 perché devo ancora confrontarla con la serie armonica?
Non basta questo per dire che converge assolutamente?
Entro in contraddizione e mi perdo su questo passaggio..
P.S. Grazie
Continuo a non capire però.. Se il limite del valore assoluto è 0 perché devo ancora confrontarla con la serie armonica?
Non basta questo per dire che converge assolutamente?
Entro in contraddizione e mi perdo su questo passaggio..
P.S. Grazie
Ahhhhhhh ho capito! La serie del valore assoluto di An diverge,( quindi non converge assolutamente, ma non so se sia divergente o convergente) quindi devo utilizzare leibniz che mi dice solo che la serie converge semplicemente. Giusto??
Ora devo scappare, ma ti consiglio di ristudiare molto seriamente i criteri di convergenza delle serie.
Il limite ad infinito nullo è condizione necessaria, ma non sufficiente.
Il limite ad infinito nullo è condizione necessaria, ma non sufficiente.
Perché la serie converga certo il limite per $n rarr +oo $ di $a_n $ deve essere 0 , ma questo non basta in quanto è condizione necessaria ma non sufficienete , a 0 deve andarci con "forza" non basta che ci vada come $1/n $ ma deve andarci come $ 1/n^alpha $ con $ alpha > 1 $.
Grazie mille! per la disponibilità e la chiarezza! Sono argomenti che sto studiando ora, ma voglio evitare di fissarli a memoria.. Vorrei capire come funzionano a presto!
a presto!
Data $ sum_(n=0)^(+oo)a_n=sum_(n=0)^(+oo )(-1)^n*e^n/(2+3n*e^n) $ :
1) studio la convergenza assoluta, cioè studio il carattere della serie
$ sum_(n=0)^(+oo)|a_n|=sum_(n=0)^(+oo )e^n/(2+3n*e^n) $
$ e^n/(2+3n*e^n)~ 1/(3n)~ 1/n $ che è una serie armonica del tipo $ 1/n^p $ con $p<1$ e quindi diverge.
Allora significa che la serie non converge assolutamente.
PARENTESI
da notare che $ lim_(n->+oo)1/n =0 $ , quindi rispetta la condizione necessaria alla convergenza, tuttavia questa non è una condizione sufficiente e infatti come dicevo prima diverge. Questo significa che:
- se $ lim_(n->+oo)a_n ne0 $ sicuramente la serie NON converge
MA
- se $ lim_(n->+oo)a_n =0 $ non è detto che converga.
CHIUSA PARENTESI
2) Ora studio la convergenza ( "normale" cioè non assoluta per capirci):
$sum_(n=0)^(+oo)a_n $è una serie a termini di segno alterno, quindi utilizzo il criterio di Leibniz, che richiede due condizioni:
$a)$ $ lim_(n->+oo)|a_n| =0$ e questa è verificata perché $ lim_(n->+oo)e^n/(2+3n*e^n) =0 $
$b)$ $a_n$ deve essere una successione DECRESCENTE
Un metodo è studiare il segno della derivata prima. Poiché le successioni non sono derivabili allora associo ad $a_n$ una funzione (è un passaggio puramente formale) $ f(x)=e^x/(2+3x*e^x) $ ; $ f'(x)=(e^x(2-3e^x))/(2+3xe^x)^2 $
Studio il segno: $ f'(x)<0$ se $ e^x(2-3e^x)<0 $ cioè se $ e^x>2/3 $ cioè se $ x> -ln(3/2) $ e poichè $n$ appartiene a $ [0;+oo) $ allora $a_n$ è decrescente $ AA n $
Entrambe le condizioni di Leibniz sono rispettate quindi la serie data CONVERGE MA NON ASSOLUTAMENTE.
N.B. Un metodo più veloce per verificare la decrescenza è sostituire due punti. Ad esempio se $f(1) > f(2)$ la funzione è decrescente.
P.S. Visto che queste cose le ho studiate da poco, spero di non aver fatto errori, ma non credo
1) studio la convergenza assoluta, cioè studio il carattere della serie
$ sum_(n=0)^(+oo)|a_n|=sum_(n=0)^(+oo )e^n/(2+3n*e^n) $
$ e^n/(2+3n*e^n)~ 1/(3n)~ 1/n $ che è una serie armonica del tipo $ 1/n^p $ con $p<1$ e quindi diverge.
Allora significa che la serie non converge assolutamente.
PARENTESI
da notare che $ lim_(n->+oo)1/n =0 $ , quindi rispetta la condizione necessaria alla convergenza, tuttavia questa non è una condizione sufficiente e infatti come dicevo prima diverge. Questo significa che:
- se $ lim_(n->+oo)a_n ne0 $ sicuramente la serie NON converge
MA
- se $ lim_(n->+oo)a_n =0 $ non è detto che converga.
CHIUSA PARENTESI
2) Ora studio la convergenza ( "normale" cioè non assoluta per capirci):
$sum_(n=0)^(+oo)a_n $è una serie a termini di segno alterno, quindi utilizzo il criterio di Leibniz, che richiede due condizioni:
$a)$ $ lim_(n->+oo)|a_n| =0$ e questa è verificata perché $ lim_(n->+oo)e^n/(2+3n*e^n) =0 $
$b)$ $a_n$ deve essere una successione DECRESCENTE
Un metodo è studiare il segno della derivata prima. Poiché le successioni non sono derivabili allora associo ad $a_n$ una funzione (è un passaggio puramente formale) $ f(x)=e^x/(2+3x*e^x) $ ; $ f'(x)=(e^x(2-3e^x))/(2+3xe^x)^2 $
Studio il segno: $ f'(x)<0$ se $ e^x(2-3e^x)<0 $ cioè se $ e^x>2/3 $ cioè se $ x> -ln(3/2) $ e poichè $n$ appartiene a $ [0;+oo) $ allora $a_n$ è decrescente $ AA n $
Entrambe le condizioni di Leibniz sono rispettate quindi la serie data CONVERGE MA NON ASSOLUTAMENTE.
N.B. Un metodo più veloce per verificare la decrescenza è sostituire due punti. Ad esempio se $f(1) > f(2)$ la funzione è decrescente.
P.S. Visto che queste cose le ho studiate da poco, spero di non aver fatto errori, ma non credo
Perfetto!! Grazie mille a tutti
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