Convergenza semplice e assoluta al variare del paramentro
Buongiorno a tutti.
Ho studiato tutta la teoria delle serie, gli esercizi più semplici e immediati riesco a impostarli e a farli, davanti a questo esercizio mi sono, invece bloccato. C'è sicuramente qualcosa che mi manca e ne approfitto per chiedere il vostro aiuto.
\(\displaystyle c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \)
Ho cercato da prima informazioni sulla condizione necessaria della convergenza, così che nel caso in cui
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_{n} \neq 0 \Rightarrow \) la serie sicuramente non converge
per \(\displaystyle \alpha \geq 0 \rightarrow \frac{0}{\infty }=0 \) non si può dire nulla perché la condizione necessaria è verificata, quindi non possiamo affermare nulla sulla non convergenza
per \(\displaystyle \alpha < 0 \rightarrow \frac{0}{\infty \cdot 0 }= ? \) forma indeterminata
La serie non è a termini positivi nè a segno costante.
Allora mi sono detto, se riesco a dimostrare che la serie è assolutamente convergente allora essa sarà anche semplicemente convergente.
Una serie si dice assolutamente convergente se la serie dei moduli ad essa associata è convergente. Quindi devo studiare la convergenza della serie a termini positivi
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
Non so se per ora sto ragionando bene, ma qui mi sono perso.
Non riesco ad applicare uno dei metodi studiati, e soprattutto come trattare il parametro.
Grazie a tutti
Ho studiato tutta la teoria delle serie, gli esercizi più semplici e immediati riesco a impostarli e a farli, davanti a questo esercizio mi sono, invece bloccato. C'è sicuramente qualcosa che mi manca e ne approfitto per chiedere il vostro aiuto.
\(\displaystyle c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \)
Ho cercato da prima informazioni sulla condizione necessaria della convergenza, così che nel caso in cui
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_{n} \neq 0 \Rightarrow \) la serie sicuramente non converge
per \(\displaystyle \alpha \geq 0 \rightarrow \frac{0}{\infty }=0 \) non si può dire nulla perché la condizione necessaria è verificata, quindi non possiamo affermare nulla sulla non convergenza
per \(\displaystyle \alpha < 0 \rightarrow \frac{0}{\infty \cdot 0 }= ? \) forma indeterminata
La serie non è a termini positivi nè a segno costante.
Allora mi sono detto, se riesco a dimostrare che la serie è assolutamente convergente allora essa sarà anche semplicemente convergente.
Una serie si dice assolutamente convergente se la serie dei moduli ad essa associata è convergente. Quindi devo studiare la convergenza della serie a termini positivi
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
Non so se per ora sto ragionando bene, ma qui mi sono perso.
Non riesco ad applicare uno dei metodi studiati, e soprattutto come trattare il parametro.
Grazie a tutti
Risposte
Non ho ben interpretato la parte in cui dici "$\alpha \geq 0$ il limite è $0$ $ \to$ non possiamo dire nulla"; intendi dire che non si può dire nulla perché la condizione necessaria è verificata, quindi non possiamo affermare nulla sulla non convergenza?
In tal caso quello che dici è corretto.
La forma indeterminata la puoi determinare applicando Taylor ai seni ed al logaritmo
Il ragionamento sull'assoluta convergenza va bene, quindi studiamo quella; per il parametro non devi preoccuparti. Vediamo perché.
Potresti maggiorare $|\sin \left[\frac{(-1)^n}{n}\right]|$ con $1$, poi per proseguire io consiglierei un criterio del confronto asintotico per $\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left[\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) - \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]^{\alpha}$ se l'hai studiato.
In sostanza, maggiori e usi il confronto asintotico; determinata la convergenza col confronto asintotico, hai che c'è convergenza per confronto non asintotico avendo maggiorato.
Quindi, se l'hai studiato, dovresti ricondurti a una ben nota serie dalla quale puoi dedurre la convergenza/divergenza della serie che ti interessa al variare del parametro.
Edit: aggiunta una parola mancante.
In tal caso quello che dici è corretto.
La forma indeterminata la puoi determinare applicando Taylor ai seni ed al logaritmo
Il ragionamento sull'assoluta convergenza va bene, quindi studiamo quella; per il parametro non devi preoccuparti. Vediamo perché.
Potresti maggiorare $|\sin \left[\frac{(-1)^n}{n}\right]|$ con $1$, poi per proseguire io consiglierei un criterio del confronto asintotico per $\frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \left[\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) - \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]^{\alpha}$ se l'hai studiato.
In sostanza, maggiori e usi il confronto asintotico; determinata la convergenza col confronto asintotico, hai che c'è convergenza per confronto non asintotico avendo maggiorato.
Quindi, se l'hai studiato, dovresti ricondurti a una ben nota serie dalla quale puoi dedurre la convergenza/divergenza della serie che ti interessa al variare del parametro.
Edit: aggiunta una parola mancante.
In seguito alle direttive di Mephlip.
Usiamo la maggiorazione del seno con 1.
\(\displaystyle -1 \leq sin [\frac{(-1)^n}{n}] \leq 1 \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
Se
\(\displaystyle a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
converge allora converge la serie di partenza.
Uso il metodo del confronto asintotico e scelto
\(\displaystyle b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1} {2}} } \)
E' una serie armonica generalizzata che
per \(\displaystyle \frac{\alpha +1}{2} > 1 \) ovvero \(\displaystyle \alpha > 1 \) converge
per \(\displaystyle \frac{\alpha +1}{2} \leq 1 \) ovvero \(\displaystyle \alpha \leq 1 \) diverge positivamente
Quindi per \(\displaystyle \alpha > 1 \)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}} {b_{n}} = 0 \Rightarrow \) convergendo \(\displaystyle b_{n} \) converge anche \(\displaystyle a_{n} \)
Ho la convergenza assoluta della serie di partenza e quindi anche semplice.
Usiamo la maggiorazione del seno con 1.
\(\displaystyle -1 \leq sin [\frac{(-1)^n}{n}] \leq 1 \)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{sin [\frac{(-1)^n)}{n}]}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
Se
\(\displaystyle a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \left | \frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \right | \)
converge allora converge la serie di partenza.
Uso il metodo del confronto asintotico e scelto
\(\displaystyle b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1} {2}} } \)
E' una serie armonica generalizzata che
per \(\displaystyle \frac{\alpha +1}{2} > 1 \) ovvero \(\displaystyle \alpha > 1 \) converge
per \(\displaystyle \frac{\alpha +1}{2} \leq 1 \) ovvero \(\displaystyle \alpha \leq 1 \) diverge positivamente
Quindi per \(\displaystyle \alpha > 1 \)
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}} {b_{n}} = 0 \Rightarrow \) convergendo \(\displaystyle b_{n} \) converge anche \(\displaystyle a_{n} \)
Ho la convergenza assoluta della serie di partenza e quindi anche semplice.
Il procedimento è corretto ma credo ci siano degli errori di calcolo, perché $\left[\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right]^{\alpha}=\left[\frac{1}{\sqrt{n}}+o \left(\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2n}+o left(\frac{1}{n}\right)]^{\alpha}=\left[\frac{1}{2n}+o \left(\frac{1}{n}\right)]^{\alpha}$
Perciò poi, dopo aver fatto gli opportuni raccoglimenti, quando moltiplichi per $\frac{1}{\sqrt{n}}$ avrai un denominatore dell'ordine di $\frac{1}{n^{\alpha+\frac{1}{2}}$.
Quindi dovresti discutere $\alpha+\frac{1}{2}>1$ ed $\alpha+\frac{1}{2} \leq 1$.
Ricontrolla i conti per sicurezza (non faccio limiti con Taylor da un po')
Perciò poi, dopo aver fatto gli opportuni raccoglimenti, quando moltiplichi per $\frac{1}{\sqrt{n}}$ avrai un denominatore dell'ordine di $\frac{1}{n^{\alpha+\frac{1}{2}}$.
Quindi dovresti discutere $\alpha+\frac{1}{2}>1$ ed $\alpha+\frac{1}{2} \leq 1$.
Ricontrolla i conti per sicurezza (non faccio limiti con Taylor da un po')
Usando
\(\displaystyle b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1} {2}} } \)
Ho che
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{\alpha +1} {2}}} {\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{\frac{\alpha} {2}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt{n} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})] \}^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} [\frac{sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{ \frac{1}{\sqrt{n}}}-\frac{log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}{\frac{1}{\sqrt{n}}}]^{\alpha } \) = 0 nell'ipotesi di \(\displaystyle \alpha > 1 \)
\(\displaystyle b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1} {2}} } \)
Ho che
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{\alpha +1} {2}}} {\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{\frac{\alpha} {2}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \{ \sqrt{n} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})] \}^{\alpha } \) =
= \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} [\frac{sin(\frac{1}{\sqrt{n}})}{ \frac{1}{\sqrt{n}}}-\frac{log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}{\frac{1}{\sqrt{n}}}]^{\alpha } \) = 0 nell'ipotesi di \(\displaystyle \alpha > 1 \)
Quello che voglio dire è che l'ultimo limite che hai calcolato non è del tutto corretto, c'è un errore di approssimazione dovuto al fatto che il termine rilevante con Taylor viene dallo sviluppo al secondo ordine del logaritmo.
Quindi i valori di $\alpha$ per cui c'è convergenza che hai trovato sono giusti, ma non sono tutti; in sostanza hai trovato un intervallo che non è quello ottimale di convergenza.
Ci sono altri valori del parametro di $\alpha$ per cui la serie converge, ossia converge per $\alpha>\frac{1}{2}$.
Questo segue dal fatto che lo sviluppo di Taylor di $\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ha un altro termine rilevante, che è $\frac{1}{2n}$.
Quindi i valori di $\alpha$ per cui c'è convergenza che hai trovato sono giusti, ma non sono tutti; in sostanza hai trovato un intervallo che non è quello ottimale di convergenza.
Ci sono altri valori del parametro di $\alpha$ per cui la serie converge, ossia converge per $\alpha>\frac{1}{2}$.
Questo segue dal fatto che lo sviluppo di Taylor di $\sin \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)-\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ha un altro termine rilevante, che è $\frac{1}{2n}$.
Ciao Mathemato,
Attenzione perché hai scritto male:
Casomai sarà $c_n = c_n(\alpha) = \frac{sin[\frac{(-1)^n}{n}]}{\sqrt{n}} \cdot [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha} $, mentre eventualmente puoi scrivere
$ c(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin[\frac{(-1)^n}{n}]}{\sqrt{n}} \cdot [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha} $
Hai commesso lo stesso errore anche successivamente; ti riporto la tua scrittura errata e subito di seguito quella corretta:
$a(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
ove $ a_{n} = a_n(\alpha) = |\frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha}| $
$b(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n $
ove $ b_{n} = b_n(\alpha) = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2}}} $
Attenzione perché hai scritto male:
"MatheMato":
$ c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin[\frac{(-1)^n}{n}]}{\sqrt{n}} \cdot [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha} $
Casomai sarà $c_n = c_n(\alpha) = \frac{sin[\frac{(-1)^n}{n}]}{\sqrt{n}} \cdot [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha} $, mentre eventualmente puoi scrivere
$ c(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{sin[\frac{(-1)^n}{n}]}{\sqrt{n}} \cdot [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha} $
Hai commesso lo stesso errore anche successivamente; ti riporto la tua scrittura errata e subito di seguito quella corretta:
"MatheMato":
$ a_{n} =\ sum_{n=1}^{\infty} |\frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha}| $
$a(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
ove $ a_{n} = a_n(\alpha) = |\frac{1}{\sqrt{n}} [sin(\frac{1}{\sqrt{n}})-log(1+\frac{1}{\sqrt{n}})]^{\alpha}| $
"MatheMato":
$b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2}}} $
$b(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n $
ove $ b_{n} = b_n(\alpha) = \frac{1}{n^{\frac{\alpha +1}{2}}} $
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