Convergenza semplice e assoluta
Allora avrei qualche domanda da porvi.
1) Studiando la teoria ho letto che la serie armonica generalizzata converge per $\alpha > 1$, ecco vorrei sapere se si intende convergenza semplice o assoluta.
Studiando prima la convergenza assoluta devo dire che se quella serie converge assolutamente vuol dire che il modulo della successione converge semplicemente. Quindi posso togliere il termine $q^n$ che sarebbe uguale a un numero positivo, e dire che:
$\sum_(n=1)^oo\ |\sin (1/n)^(\alpha)| \sim \sum_(n=1)^oo\ |1/n^(\alpha)|$ ed ora? ho bisogno di chiarimenti
Risposte
allora, la serie armonica generalizzata
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}
\end{align*}
è una serie a termini positivi, quindi quando converge, converge sicuramente anche in modulo, a convergenza è assoluta e quindi anche semplice.
per l'altra serie la successione $b_n:=\frac{1}{n}$ quando $n\to+\infty$ tende a zero, quindi il seno in prossimità dell'origine è sicuramente positivo; invece la quantità $q^n$ non mantiene segno costante in quanto $q$ varia in $\RR;$ allora sei costretto a studiare la convergenza assoluta, cioè
\begin{align*}
\left| q^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n}\right|=\left| q\right|^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n}
\end{align*}
a questo punto hai una serie a termini positivi, e puoi applicare qualsiasi criterio di convergenza per tali serie; osservando che
\begin{align*}
\sin^{\alpha}\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n^{\alpha}}
\end{align*}
si ricondotto a studiare la serie a termini positivi:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}}
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}
\end{align*}
è una serie a termini positivi, quindi quando converge, converge sicuramente anche in modulo, a convergenza è assoluta e quindi anche semplice.
per l'altra serie la successione $b_n:=\frac{1}{n}$ quando $n\to+\infty$ tende a zero, quindi il seno in prossimità dell'origine è sicuramente positivo; invece la quantità $q^n$ non mantiene segno costante in quanto $q$ varia in $\RR;$ allora sei costretto a studiare la convergenza assoluta, cioè
\begin{align*}
\left| q^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n}\right|=\left| q\right|^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n}
\end{align*}
a questo punto hai una serie a termini positivi, e puoi applicare qualsiasi criterio di convergenza per tali serie; osservando che
\begin{align*}
\sin^{\alpha}\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n^{\alpha}}
\end{align*}
si ricondotto a studiare la serie a termini positivi:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}}
\end{align*}
Quindi per $\alpha > 1$ la serie armonica generalizzata converge assolutamente e (ciò implica) anche semplicemente, poiché è a termini positivi, fare o non fare il modulo è la stessa cosa!
Allora per quanto riguarda l'esercizio, devo dire quando converge assolutamente? Quando il modulo di quella roba converge semplicemente, e ciò posso verificarlo con il criterio di Leibniz! Vero? Di solito con Leibzin va omesso $(-1)^n$ qui invece devo omettere $|q|^n$?
Allora per quanto riguarda l'esercizio, devo dire quando converge assolutamente? Quando il modulo di quella roba converge semplicemente, e ciò posso verificarlo con il criterio di Leibniz! Vero? Di solito con Leibzin va omesso $(-1)^n$ qui invece devo omettere $|q|^n$?
Un momento: fatta la stima sintotica (Che potevamo fare essendo difronte ad una serie a termini positivi) ci siamo solo semplificati il termine generale della serie, giungendo alla serie equivalente, sempre a termini positivi,
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
ora però dobbiamo studirne il carattere, con uno dei criteri per le serie a termini positivi; ad occhio il rapporto dovrebbe funzionare ..
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
ora però dobbiamo studirne il carattere, con uno dei criteri per le serie a termini positivi; ad occhio il rapporto dovrebbe funzionare ..
Col rapporto viene
$\lim q\ (1 + 1/n)^(-\alpha) = q / e$ ? Se è $< 1$ converge..
Comunque non ho chiaro come si ragiona con questi esercizi..
$\lim q\ (1 + 1/n)^(-\alpha) = q / e$ ? Se è $< 1$ converge..
Comunque non ho chiaro come si ragiona con questi esercizi..
Possiamo commentare i risultati insieme?
Ricapitolando:
$\sum_(n=1)^00\ q^n \sin^(\alpha) 1/n $ lo possiamo sempre vedere come $\sum_(n=1)^00\ q^n\ 1/n^(\alpha) $
Se $q=1$ la nostra serie è sicuramente a termini positivi e possiamo usare i relativi criteri, come quello della serie generalizzata, quindi in questo caso per $\alpha > 1$ converge assolutamente e semplicemente.
Se $q= -1$ la serie è a segno alterno, per cui posso usare leibniz, con il quale posso dire che per $\alpha > 0$ converge semplicemente.
Per altri valori di $q$ così non potrei aggiungere altro. Quindi devo rendere la serie a termini positivi? Faccio il modulo e potrei dire che quello se converge semplicemente allora la serie converge assolutamente..giusto? Facendolo noto però che ho
$\sum_(n=1)^00 |q|^n / n^(\alpha)$ che è a termini positivi, per cui usando il criterio del rapporto il limite viene pari a $|q|$! Dove se $|q| < 1$ converge! altrimenti diverge! Corretto?
$\sum_(n=1)^00\ q^n \sin^(\alpha) 1/n $ lo possiamo sempre vedere come $\sum_(n=1)^00\ q^n\ 1/n^(\alpha) $
Se $q=1$ la nostra serie è sicuramente a termini positivi e possiamo usare i relativi criteri, come quello della serie generalizzata, quindi in questo caso per $\alpha > 1$ converge assolutamente e semplicemente.
Se $q= -1$ la serie è a segno alterno, per cui posso usare leibniz, con il quale posso dire che per $\alpha > 0$ converge semplicemente.
Per altri valori di $q$ così non potrei aggiungere altro. Quindi devo rendere la serie a termini positivi? Faccio il modulo e potrei dire che quello se converge semplicemente allora la serie converge assolutamente..giusto? Facendolo noto però che ho
$\sum_(n=1)^00 |q|^n / n^(\alpha)$ che è a termini positivi, per cui usando il criterio del rapporto il limite viene pari a $|q|$! Dove se $|q| < 1$ converge! altrimenti diverge! Corretto?
facendo ordine :
ci siamo condotti allo studio della serie a termini positivi:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
alla quale possiamo applicare il criterio del rapporto:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty} \frac{\left| q\right|^{n+1}}{(n+1)^{\alpha}}\cdot \frac{n^{\alpha}}{\left| q\right|^n} &= \lim_{n \to +\infty} \frac{\left| q\right|^{n }\cdot |q|}{|q|^n}\cdot \frac{n^{\alpha}}{(n+1)^{\alpha}}= \lim_{n \to +\infty} |q| \cdot \left(\frac{n }{ n+1 }\right)^{\alpha}\\
&=|q| \to\begin{cases} &\mbox{se }|q| <1,&\mbox{converge (assolutamente)}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se }|q| >1,&\mbox{diverge}\\
&\mbox{se }|q| =1,&\mbox{Criterio inefficacie}
\end{cases} \end{align*}
si tratta ora di capire come studiare il carattere della serie nei casi in cui il criterio risulta inefficaie, cioè quando $q=\pm1$
allora, quando $q=-1$ la serie diviene:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
che è una serie a segni alterni, e dunque o la si può studiare con Leibnitz, oppure, considerando la convergenza assoluta, abbiamo che
\begin{align*} \left| \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \right|=\frac{1}{n^{\alpha}} \to\mbox{converge se } \,\,\alpha>1\end{align*}
nel caso in cui $0<\alpha<1$ la serie risulterebbe assolutamete divergente, e dunque nulla possiamo concludere; allora applicando il criterio di Leibniz abbiamo che il termine generale $a_n:=\frac{1}{n^{\alpha}}$ risulta infinitesimo e devcrescente, poichè $0<\alpha<1$, e dunque per Leibnitz possiamo concludere che la serie risulta semplicemente converge, ma non assolutamente, per $q=-1$ e $0<\alpha<1;$
Consideriamo il caso $q=1$: la serie diviene:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{align*}
in questo caso siamo difronte ad una serie a termini positivi che sappiamo essere convergente se $\alpha>1$
dunque ricapitolando abbiamo che:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} q^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n} =\begin{cases} &\mbox{se}\quad|q| <1,&\mbox{converge (assolutamente)}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se}\quad |q| >1,&\mbox{diverge}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se}\quad q =-1,&\mbox{Converge assolutamente se }\,\,\, \alpha>1\\
&\mbox{se}\quad q =-1,&\mbox{Converge semplicemente se }\,\,\, 0<\alpha<1 \\
&\mbox{se}\quad q =1,&\mbox{Converge assolutamente se }\,\,\, \alpha>1
\end{cases} \end{align*}
ci siamo condotti allo studio della serie a termini positivi:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
alla quale possiamo applicare il criterio del rapporto:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\left| q\right|^n}{n^{\alpha}} \stackrel{Ratio}{\Longrightarrow}\lim_{n \to +\infty} \frac{\left| q\right|^{n+1}}{(n+1)^{\alpha}}\cdot \frac{n^{\alpha}}{\left| q\right|^n} &= \lim_{n \to +\infty} \frac{\left| q\right|^{n }\cdot |q|}{|q|^n}\cdot \frac{n^{\alpha}}{(n+1)^{\alpha}}= \lim_{n \to +\infty} |q| \cdot \left(\frac{n }{ n+1 }\right)^{\alpha}\\
&=|q| \to\begin{cases} &\mbox{se }|q| <1,&\mbox{converge (assolutamente)}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se }|q| >1,&\mbox{diverge}\\
&\mbox{se }|q| =1,&\mbox{Criterio inefficacie}
\end{cases} \end{align*}
si tratta ora di capire come studiare il carattere della serie nei casi in cui il criterio risulta inefficaie, cioè quando $q=\pm1$
allora, quando $q=-1$ la serie diviene:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \end{align*}
che è una serie a segni alterni, e dunque o la si può studiare con Leibnitz, oppure, considerando la convergenza assoluta, abbiamo che
\begin{align*} \left| \frac{(-1)^n}{n^{\alpha}} \right|=\frac{1}{n^{\alpha}} \to\mbox{converge se } \,\,\alpha>1\end{align*}
nel caso in cui $0<\alpha<1$ la serie risulterebbe assolutamete divergente, e dunque nulla possiamo concludere; allora applicando il criterio di Leibniz abbiamo che il termine generale $a_n:=\frac{1}{n^{\alpha}}$ risulta infinitesimo e devcrescente, poichè $0<\alpha<1$, e dunque per Leibnitz possiamo concludere che la serie risulta semplicemente converge, ma non assolutamente, per $q=-1$ e $0<\alpha<1;$
Consideriamo il caso $q=1$: la serie diviene:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{align*}
in questo caso siamo difronte ad una serie a termini positivi che sappiamo essere convergente se $\alpha>1$
dunque ricapitolando abbiamo che:
\begin{align*} \sum_{n=1}^{+\infty} q^n \sin^{\alpha}\frac{1}{n} =\begin{cases} &\mbox{se}\quad|q| <1,&\mbox{converge (assolutamente)}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se}\quad |q| >1,&\mbox{diverge}, \forall\alpha \in \mathbb{R}\\
&\mbox{se}\quad q =-1,&\mbox{Converge assolutamente se }\,\,\, \alpha>1\\
&\mbox{se}\quad q =-1,&\mbox{Converge semplicemente se }\,\,\, 0<\alpha<1 \\
&\mbox{se}\quad q =1,&\mbox{Converge assolutamente se }\,\,\, \alpha>1
\end{cases} \end{align*}
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