Convergenza quadratica della serie di Fourier

[rino.f.95]

Ciao a tutti, sto studiando la teoria della convergenza della Serie di Fourier ma mi sono bloccato alla convergenza quadratica e all'identità di Parseval: sul mio libro di analisi II e su vari appunti sparsi per internet ho trovato solo un cenno di dimostrazione che non mi è affatto chiaro... in soldoni, questo è il teorema da cui proviene l'identità di Perseval:


"Teorema
Sia

[math] R _{T} [/math]

lo spazio vettoriale delle funzioni T-periodiche e integrabili su

[math] \left [ 0, T \right ] [/math]

(nel nostro caso,

[math] T = 2 \pi [/math]

):


Se

[math] f \epsilon R _{T} [/math]

, allora la serie di Fourier di f converge in media quadratica ad f su un qualsiasi intervallo

[math] \left [ a, b \right ] \subset R [/math]

.


In altri termini, se

[math] S_{N}(x) = a_{0} + \sum ^{N} _{n=1} \left [ a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx) \right ] [/math]

è la ridotta N-esima della serie di Fourier di

[math] f \epsilon R_{T} [/math]

, risulta che

[math] S_{N} \rightarrow f [/math]

quadraticamente su ogni intervallo

[math] \left [ a, b \right ] \subset R [/math]

, cioè

[math] \lim _{N \rightarrow \infty } \int_{a}^{b} \left [ f(x) - S_{N}(x) \right ]^2 \mathrm{d}x = 0 [/math]

(in particolare,si può scegliere

[math] \left [ a , b \right ] = \left [
0, T \right ] [/math]

)"


e questo è l'enunciato:


"Corollario (identità di Perseval)
Per ogni

[math] f \epsilon R_{T} [/math]

vale l'identità di Perseval:

[math] \frac{1}{T} \int _{0} ^{T} \left [ f(x) \right ]^2 \mathrm{d} x = a_{0}^2 + \frac{1}{2} \sum ^{\infty} _{n = 1} (a _{n} ^{2} + b _{n} ^{2}) [/math]

dove

[math] a_{0} [/math]

,

[math] a_{n} [/math]

,

[math] b_{n} [/math]

sono i coefficienti della serie di Fourier di f."





Ecco, è questo il mio dubbio... come si arriva alla dimostrazione di questa identità?

se io scrivo

[math] \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ f(x) - S_{N}(x)\right ]^{2} \mathrm{d}x = 0 [/math]

e sviluppo il quadrato dentro al simbolo dell'integrale dovrei ottenere

[math] \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ f^{2}(x) + S_{N}^{2}(x) - 2f(x) S_{N}(x) \right ] \mathrm{d}x = 0 [/math]

e quindi

[math] \int _{0} ^{T} \left [ f(x) \right ]^2 \mathrm{d}x = \lim _{N \rightarrow \infty} (-\int _{a} ^{b} \left [ S_{N} \right ]^{2} \mathrm{d}x) + \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ 2 S_{N}(x) f(x) \right ] \mathrm{d}x [/math]

(secondo la mia personale logica), mentre in tutte le fonti dove ho potuto trovare uno stralcio di dimostrazione si parte direttamente dall'identità

[math] \int _{a}^{b} \left [ f(x) \right ]^{2} \mathrm{d}x = \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ S_{N}(x)\right ]^{2} \mathrm{d}x[/math]

... che fine fa il termine

[math] \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ 2 S_{N}(x) f(x) \right ] \mathrm{d}x [/math]

???

E soprattutto se porto il termine

[math] \lim _{N \rightarrow \infty} \int _{a} ^{b} \left [ f(x) \right ]^{2} \mathrm{d}x [/math]

a secondo membro non dovrebbe esserci il segno - ???

[davi02]

Dalla convergenza quadratica e dalla disuguaglianza di Schwarz segue che

[math]\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \left[(f(x) - S_{N}(x)) f(x) \right]\mathrm{d}x = 0[/math]

e da ciò

[math]\lim_{N \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \left[S_{N}(x) f(x) \right]\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} \left[f(x) f(x) \right]\mathrm{d}x[/math]

[rino.f.95]

Conosci un sito dove posso trovare tutta la dimostrazione completa di passaggi ?

[davi02]

No.
Queste cose le ho studiate su testi specializzati in lingua inglese.
Forse qualche titolo è scaricabile da internet; cerca Fourier Analysis.

[rino.f.95]

Non dico simboli in latex e varie formule perché ci vuole tempo a scriverle, ma avresti potuto spendere qualche altra parola in più per farmi capire meglio, vedrò da qualche altra parte grazie lo stesso