Convergenza puntuale, totale, uniforme serie
Determinare gli insiemi di convergenza puntuale, totale e uniforme della serie di potenze
$\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-1)^n}{(n+1)*3^n}$.
La funzione converge puntualmente in $[-2,4)$, perchè considero prima la serie per $x>1$ e poichè è a termini positivi utilizzo il criterio del rapporto
$lim_(n->+infty)((x-1)^(n+1)*(n+1)*3^n)/((n+2)*3^(n+1)*(x-1)^n)=(x-1)/3$ Quindi la serie converge per $0<(x-1)/3<1$ quindi 1
Per $x<1$ la serie è a termini alterni utilizzo Leibniz
$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n*(-x+1)^n}{(n+1)*3^n}$.
$lim_(n->+infty)(-x+1)^n/((n+1)*3^n)=0$ $(-x+1)/3<=3$ quindi $x>=2$
Per cui converge puntualmente in $[-2,4)$
Ora la serie può convergere uniformemente e totalmente solo nei sottoinsiemi di $[-2,4)$.
Per quella uniforme potrei verificare quando $lim_(n->infty)int_a^bf^{(n)}(x)dx=int_a^blim_(n->infty)f^{(n)}(x)dx$ con $b>a$ e $a,bin[-2,4)$.
Per quella totale potrei trovare il massimo di $f^{(n)}(x)$, inserirlo in una serie e vedere quando converge.
Solo non riesco a trovare gli stessi risultati della soluzione, quindi vorrei vedere come risolvereste voi il problema!
Grazie mille!
$\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-1)^n}{(n+1)*3^n}$.
La funzione converge puntualmente in $[-2,4)$, perchè considero prima la serie per $x>1$ e poichè è a termini positivi utilizzo il criterio del rapporto
$lim_(n->+infty)((x-1)^(n+1)*(n+1)*3^n)/((n+2)*3^(n+1)*(x-1)^n)=(x-1)/3$ Quindi la serie converge per $0<(x-1)/3<1$ quindi 1
Per $x<1$ la serie è a termini alterni utilizzo Leibniz
$\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n*(-x+1)^n}{(n+1)*3^n}$.
$lim_(n->+infty)(-x+1)^n/((n+1)*3^n)=0$ $(-x+1)/3<=3$ quindi $x>=2$
Per cui converge puntualmente in $[-2,4)$
Ora la serie può convergere uniformemente e totalmente solo nei sottoinsiemi di $[-2,4)$.
Per quella uniforme potrei verificare quando $lim_(n->infty)int_a^bf^{(n)}(x)dx=int_a^blim_(n->infty)f^{(n)}(x)dx$ con $b>a$ e $a,bin[-2,4)$.
Per quella totale potrei trovare il massimo di $f^{(n)}(x)$, inserirlo in una serie e vedere quando converge.
Solo non riesco a trovare gli stessi risultati della soluzione, quindi vorrei vedere come risolvereste voi il problema!
Grazie mille!
Risposte
Per quanto riguardo la convergenza puntuale mi sembra tutto giusto, solo potevi notare che è una serie di potenze centrata in $x=1$ con raggio di convergenza pari a $3$. Poi avresti potuto semplicemente controllare la convergenza puntuale agli estremi, e saresti giunto alla stessa conclusione.
Questa non l'ho capita, il verificarsi di quell'uguaglianza non mi pare ti assicuri la convergenza uniforme della serie (magari si potrebbe anche dimostrare per le serie potenze, ma non mi sembra proprio ovvio).
Piuttosto c'è un teorema di Abel che ti dice che se una serie di potenze avente raggio di convergenza $r$, centrata in $x_0$, converge anche in $x= x_0 - r$ (è il caso del tuo esercizio), allora converge uniformemente in ogni compatto del tipo $[x_0-r,M]=I$, dove $M in (x_0-r,x_0+r)$.
Se non sbaglio la convergenza totale implica quella uniforme, quindi sicuramente l'intervallo di convergenza totale è contenuto in $I$. Io direi che si tratta di intervalli del tipo $[-M,M]$, dove $M$ è quello di prima. Perchè, prendendo il valore assoluto del termine generale, non riesco a trovarne un maggiorante la cui serie converga se considero anche il punto di bordo dell'insieme di convergenza $x=-2$, però non ho molta dimestichezza con questo tipo di convergenza, quindi non garantisco nulla.
"pumba91":
Per quella uniforme potrei verificare quando $lim_(n->infty)int_a^bf^{(n)}(x)dx=int_a^blim_(n->infty)f^{(n)}(x)dx$ con $b>a$ e $a,bin[-2,4)$.
Questa non l'ho capita, il verificarsi di quell'uguaglianza non mi pare ti assicuri la convergenza uniforme della serie (magari si potrebbe anche dimostrare per le serie potenze, ma non mi sembra proprio ovvio).
Piuttosto c'è un teorema di Abel che ti dice che se una serie di potenze avente raggio di convergenza $r$, centrata in $x_0$, converge anche in $x= x_0 - r$ (è il caso del tuo esercizio), allora converge uniformemente in ogni compatto del tipo $[x_0-r,M]=I$, dove $M in (x_0-r,x_0+r)$.
Se non sbaglio la convergenza totale implica quella uniforme, quindi sicuramente l'intervallo di convergenza totale è contenuto in $I$. Io direi che si tratta di intervalli del tipo $[-M,M]$, dove $M$ è quello di prima. Perchè, prendendo il valore assoluto del termine generale, non riesco a trovarne un maggiorante la cui serie converga se considero anche il punto di bordo dell'insieme di convergenza $x=-2$, però non ho molta dimestichezza con questo tipo di convergenza, quindi non garantisco nulla.
Pumba, una cosa: nel limite per calcolare il raggio di convergenza non ci vanno i termini dipendenti da $x$. Se hai una serie di potenze $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ il raggio si determina calcolando [tex]$R=\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$[/tex]. Nella tua serie, posto ${x-1}/3=t$ possiamo scrivere $\sum_{n=0}^\infty\frac{t^n}{n+1}$ e quindi, essendo $a_n=\frac{1}{n+1}$
$R=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+2}{n+1}=1$
Per cui la serie converge su $|t| < 1\ \Rightarrow\ -1 < t < 1$ e in definitiva
[tex]$ -1 < \frac{x-1}{3} < 1\ \Rightarrow\ -2 < x< 4 $[/tex]
A questo punto devi un attimo rivedere ciò che hai scritto
EDIT: anticipato da Giuly!
.
$R=\lim_{n\to+\infty}\frac{n+2}{n+1}=1$
Per cui la serie converge su $|t| < 1\ \Rightarrow\ -1 < t < 1$ e in definitiva
[tex]$ -1 < \frac{x-1}{3} < 1\ \Rightarrow\ -2 < x< 4 $[/tex]
A questo punto devi un attimo rivedere ciò che hai scritto
EDIT: anticipato da Giuly!
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Grazie mille! Ho usato metodi e criteri per serie di funzioni normali, non immaginavo che fosse una serie di potenze!
Sapete dovo posso trovare qualche file a riguardo? Comunque mi informerò e proverò a postare la mia soluzione!
Sapete dovo posso trovare qualche file a riguardo? Comunque mi informerò e proverò a postare la mia soluzione!
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