Convergenza puntuale serie e successione
Salve,
di solito non scrivo, ma sono davvero curiosa di capire perchè non riesco ad arrivare alla soluzione di questo esercizio, sicuramente banale.
Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale di questa serie:
$\sum_{n =1}^{+\infty} e^{-n^3|sen(x/n)|}$
Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1. Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ?
Anche se fosse giusto, per il resto, non riesco a capire come svolgerla. Ho cercato anche di dire che questa serie è maggiore di un'altra serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n^3}$, ma in realtà non so se possa essere giusto.
Poi ho, la stessa funzione come successione di funzione, quindi:
$f(x) = e^{-n^3|sin(x/n)|}$ e mi chiede sempre l'intervallo di convergenza puntuale. In teoria qui devo calcolarmi il limite per n che va all'infinito. Giusto? Ma non so come sviluppare il tutto.
Scusate se la domanda è banale, ma sono davvero in crisi
di solito non scrivo, ma sono davvero curiosa di capire perchè non riesco ad arrivare alla soluzione di questo esercizio, sicuramente banale.
Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale di questa serie:
$\sum_{n =1}^{+\infty} e^{-n^3|sen(x/n)|}$
Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1. Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ?
Anche se fosse giusto, per il resto, non riesco a capire come svolgerla. Ho cercato anche di dire che questa serie è maggiore di un'altra serie:
$\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-n^3}$, ma in realtà non so se possa essere giusto.
Poi ho, la stessa funzione come successione di funzione, quindi:
$f(x) = e^{-n^3|sin(x/n)|}$ e mi chiede sempre l'intervallo di convergenza puntuale. In teoria qui devo calcolarmi il limite per n che va all'infinito. Giusto? Ma non so come sviluppare il tutto.
Scusate se la domanda è banale, ma sono davvero in crisi
Risposte
Ciao!
Attenzione: se $x=0$ hai
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 |\sin 0|} =\sum_{n=1}^\infty 1$$
Che diverge perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, non perché è una serie geometrica; perché dici che è una serie geometrica? Non è vero.
Questo evidenzia una lacuna importante sui limiti, uno dei dubbi classici è proprio quello: non è una forma indeterminata, perché la forma indeterminata $0\cdot \infty$ si genera quando due successioni (o funzioni) che sono moltiplicate tra loro tendono una a $0$ e l'altra ad $\infty$.
Qui $x$ è fissato a $0$, non sta tendendo da nessuna parte; quindi il problema della forma indeterminata non si pone.
Sebbene la disuguaglianza $e^{-n^3} \geq e^{-n^3 |\sin \left(\frac{x}{n}\right)|}$ sia vera purtroppo non ti dà informazioni, perché trovi che la serie da studiare è maggiore di una serie convergente.
Hai provato col criterio della radice?
"Avelyne":
Io ho pensato per prima cosa che se ho x = 0 questa diverge, poichè avrei la serie giometrica con ragione 1
Attenzione: se $x=0$ hai
$$\sum_{n=1}^\infty e^{-n^2 |\sin 0|} =\sum_{n=1}^\infty 1$$
Che diverge perché non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy, non perché è una serie geometrica; perché dici che è una serie geometrica? Non è vero.
"Avelyne":
Quindi posso escludere x = 0. Ma in realtà non so se posso dirlo, perchè avrei 0*inf ?
Questo evidenzia una lacuna importante sui limiti, uno dei dubbi classici è proprio quello: non è una forma indeterminata, perché la forma indeterminata $0\cdot \infty$ si genera quando due successioni (o funzioni) che sono moltiplicate tra loro tendono una a $0$ e l'altra ad $\infty$.
Qui $x$ è fissato a $0$, non sta tendendo da nessuna parte; quindi il problema della forma indeterminata non si pone.
"Avelyne":
Ho cercato anche di dire che questa serie è maggiore di un'altra serie:
$∑_{n=1}^{+∞}e^{−n^3}$, ma in realtà non so se possa essere giusto.
Sebbene la disuguaglianza $e^{-n^3} \geq e^{-n^3 |\sin \left(\frac{x}{n}\right)|}$ sia vera purtroppo non ti dà informazioni, perché trovi che la serie da studiare è maggiore di una serie convergente.
Hai provato col criterio della radice?
Intanto ti ringrazio per la risposta, purtroppo ho fatto analisi I due anni fa, e molte cose non le ricordo benissimo.
Inoltre ti ringrazio per avermi ricordato il fatto dello 0*infinito, cosa che mi ero completamente dimenticata.
Con il criterio della radice trovo il:
$\lim_{n\to\ \infty} e^{-n^2|sin(x/n)|} = \lim_{n\to\ \infty}e^{-\infty} = 0$ se $x!=0$ Quindi,se fosse giusto quello che ho scritto, ho che la serie converge.
Inoltre ti ringrazio per avermi ricordato il fatto dello 0*infinito, cosa che mi ero completamente dimenticata.
Con il criterio della radice trovo il:
$\lim_{n\to\ \infty} e^{-n^2|sin(x/n)|} = \lim_{n\to\ \infty}e^{-\infty} = 0$ se $x!=0$ Quindi,se fosse giusto quello che ho scritto, ho che la serie converge.
Ciao Avelyne,
Più brevemente avrei osservato che [tex]\sin\bigg(\frac{x}{n}\bigg) \sim \frac{x}{n}[/tex] per $n \to +\infty $, per cui la serie proposta si comporta come la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^{- n^2 |x|} $
Applicando il criterio della radice si vede subito che la serie proposta converge $\AA x \in \RR - {0} $
Più brevemente avrei osservato che [tex]\sin\bigg(\frac{x}{n}\bigg) \sim \frac{x}{n}[/tex] per $n \to +\infty $, per cui la serie proposta si comporta come la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} e^{- n^2 |x|} $
Applicando il criterio della radice si vede subito che la serie proposta converge $\AA x \in \RR - {0} $
In effetti, non ci avevo pensato a questa cosa, grazie mille 
Mi avete salvato dalla pazzia (Per ora) hahah
Mi avete salvato dalla pazzia (Per ora) hahah
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