Convergenza puntuale serie di fourier
studiare la convergenza puntuale del prolungamento $ 2pi$-periodico della funzione :
$ f={ ( t^2 )con -pi
Non mi è chiaro come calcolare nei punti di discontinuità eliminabile del tipo $t=(2k+1)pi$ il limite destro e sinistro del rapporto incrementale che valgono rispettivamente $-2pi$ e $2pi$:
$ lim_(h -> 0^+) (f(t+h)-f(t+0))/h=-2pi $
e
$ lim_(h -> 0^-) (f(t+h)-f(t-0))/h=2pi $
Dai miei calcoli (nel punto $pi$, ovvero considerando $k=0$), trovo $2pi$ ad entrambi i limiti in disaccordo con il libro, qualcuno può esplicitare il calcolo?? Questi 2 rapporti incrementali vanno verificati in ogni circostanza per il teorema di dirichlet?? Siccome sono dei punti di discontinuità eliminabile (e non a salto) la serie di fourier avrà somma convergente ad f in questi punti, oppure a $1/2(f^+ + f^-)$?
$ f={ ( t^2 )con -pi
Non mi è chiaro come calcolare nei punti di discontinuità eliminabile del tipo $t=(2k+1)pi$ il limite destro e sinistro del rapporto incrementale che valgono rispettivamente $-2pi$ e $2pi$:
$ lim_(h -> 0^+) (f(t+h)-f(t+0))/h=-2pi $
e
$ lim_(h -> 0^-) (f(t+h)-f(t-0))/h=2pi $
Dai miei calcoli (nel punto $pi$, ovvero considerando $k=0$), trovo $2pi$ ad entrambi i limiti in disaccordo con il libro, qualcuno può esplicitare il calcolo?? Questi 2 rapporti incrementali vanno verificati in ogni circostanza per il teorema di dirichlet?? Siccome sono dei punti di discontinuità eliminabile (e non a salto) la serie di fourier avrà somma convergente ad f in questi punti, oppure a $1/2(f^+ + f^-)$?
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