Convergenza puntuale implica uniforme su un intervallo?

[thedarkhero]

Supponiamo di avere una successione di funzioni $f_n$ che converge puntualmente ad una funzione limite $f$ su tutto $RR$.
Riesco sempre a trovare un intervallo sul quale la convergenza è anche uniforme?

[Paolo902]

Nel caso non continuo, direi proprio di no. Prendi la solita $f_m(x)=\lim_{n} (1-cos^{2n}(m!\pi x))$. Questa converge puntualmente alla funzione caratteristica degli irrazionali, quindi direi che la convergenza non è uniforme in nessun sottointervallo.

Ora però se prendiamo delle $f_n$ continue...? Il limite puntuale sarò continuo fuori da un magro, ma della convergenza non credo si possa dire nulla. Ci penso.

Magari esiste qualcosa di più semplice, però al momento mi sfugge.

[thedarkhero]

La funzione che hai proposto non la conoscevo, interessante!
Non sono però in grado di mostrare che questa converge puntualmente alla funzione caratteristica degli irrazionali, mi daresti qualche dritta?

[Paolo902]

La trovi su diversi libri, dovrebbe essere un esempio abbastanza noto (una volta ci eravamo messi lì con qualche collega a fare un po' di verifiche con quella successione). Ad ogni modo, per la convergenza puntuale mi pare che basti osservare che preso $x\in \RR$ se $m!x \in ZZ$ allora $f_m(x)=0$, altrimenti fa $1$: ti torna? Da qui non dovrebbe essere difficile concludere.

Ti faccio notare, comunque, che questo esempio non va bene nel caso continuo (proprio per quanto dicevo sopra): in altre parole, non esiste una successione di funzioni continue che converge puntualmente alla funzione di Dirichlet (la caratteristica di $QQ$ o di $RR \setminus QQ$ che sono discontinue in ogni punto). Quindi bisognerà studiare qualche altro controesempio (ammesso che sia falso; può anche darsi che aggiungendo l'ipotesi di continuità la tua affermazione iniziale sia vera).