Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni

[Dracmaleontes]

Sia:

$$
f_n(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\sqrt{n} \hspace{5mm} x \in \bigg(\frac{1}{2n}, \frac{1}{n}\bigg) \\
0 \hspace{5mm} \text{altrove}
\end{array}
\right.
$$
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione in $E = [0,1]$.

Io ho pensato che l'insieme $I = (\frac{1}{2n}, \frac{1}{n})$ tenda all'insieme $\{0 \}$ quando $n$ tende ad infinito. Poiché ${0} \notin I$:
$$ \lim_{n\to \infty} f_n(x) = 0$$
E' allora da studiare la convergenza uniforme:
Si deve verificare che:
$$ \text{sup}_{E} \{|f_n(x) - f(x) | \} \rightarrow 0 \hspace{5mm} \text{per n} \rightarrow \infty$$

Che è equivalente a mostrare che :
$$ \text{sup}_{x \in (\frac{1}{2n}, \frac{1}{n})} \sqrt{n} \rightarrow 0 \hspace{5mm} \text{per n} \rightarrow \infty$$
Che è vero, perchè l'insieme I tende ad essere ${0}$, dunque c'è convergenza uniforme. Che dite va bene?

[Studente Anonimo]

Mmm... no. Io farei un po' di attenzione con gli intervalli. Prendi un punto \( x > 0 \); allora per ogni \( n > \lceil \frac{1}{x} \rceil \) hai \( f_n (x) = 0\). Quindi sicuramente \( \lim_{n \to \infty} f_n (x) = 0 \) per \( x > 0 \). Per quanto riguarda \( x =0 \), beh, \(f_n (0) = 0\) per ogni \(n\) quindi \( f_n(0) \to 0 \). Siamo d'accordo allora che il limite puntuale e' \(0\).

Per quanto riguarda la convergenza uniforme, hai che \( \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x)| = \sqrt{n} \to \infty \) per \(n \to \infty\).

[Dracmaleontes]

Ok capito, grazie!