Convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni
Salve, avrei diversi dubbi sullo svolgimento di questo esercizio:
$ f_n(x)=(n-x)^2/(1+2(n-x)^2) $ $ x in R $, $ n=1,2,3.. $
Devo valutare
1)la convergenza puntuale,
2)la convergenza uniforme in R
3)la convergenza uniforme in [0,1].
1)La convergenza puntuale è:
$ lim_(n -> oo ) f_n(x)=1/2 $
2)Devo verificare che:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = 0 \)
Posso procedere calcolando la derivata prima:
$ D(f_n(x)-f(x)) $
$ (f_n(x)-f(x))=(-1)/(2+4(n-x)^2) $
$ D(f_n(x)-f(x))= -(8(n-x))/(2+4(n-x)^2) $
$ D(f_n(x)-f(x)) >0 hArr -8(n-x)>0hArr x>n $
Ma in questo modo non trovo un massimo, se invece valuto tutto in modulo come nella definizione ho:
$ D(f_n(x)-f(x))= (8(n-x))/(2+4(n-x)^2) $
trovo che il massimo è $ x=n $
Ora la mia prima domanda è, qual è il modo giusto di valutare la derivata?Posso togliere il modulo e considerare 1 al numeratore? Perchè con e senza modulo ho due valori diversi e mi sto confondendo parecchio.
Poi, devo valutare
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = \lim_{x\rightarrow \infty }max{|f_n(x)-f(x)| : x\in R} \)
Oppure:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = \lim_{x\rightarrow \infty }max{|f_n(x)| : x\in R} \) ??
Cioè andando a sostituire $ x=n $ (nel caso sia massimo) proprio in $ f_n(x)=(n-x)^2/(1+2(n-x)^2) $ oppure in $ (f_n(x)-f(x))$ ??
In generale so che se $ lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x) $ dove $x_n=n$ e $f(x)=1/2$ allora converge uniformemente.
Poi,è giusto un secondo metodo per maggiorazioni?Cioè:
$ 0<=|f_n(x)-f(x)|=|(-1)/(2+4(n-x)^2)|<=(1)/(2+4(n-x)^2)rarr 0 $
per $ (nrarr oo ) $ e quindi converge uniformemente.
3) Trovo che converge uniformemente nell'intervallo considerando il sup come
$ 0<=|(-1)/(2+4(n-x)^2)|<=(1)/(2+4(n-1)^2)rarr 0 $
per $ (nrarr oo ) $
Potete chiarirmi la situazione?
$ f_n(x)=(n-x)^2/(1+2(n-x)^2) $ $ x in R $, $ n=1,2,3.. $
Devo valutare
1)la convergenza puntuale,
2)la convergenza uniforme in R
3)la convergenza uniforme in [0,1].
1)La convergenza puntuale è:
$ lim_(n -> oo ) f_n(x)=1/2 $
2)Devo verificare che:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = 0 \)
Posso procedere calcolando la derivata prima:
$ D(f_n(x)-f(x)) $
$ (f_n(x)-f(x))=(-1)/(2+4(n-x)^2) $
$ D(f_n(x)-f(x))= -(8(n-x))/(2+4(n-x)^2) $
$ D(f_n(x)-f(x)) >0 hArr -8(n-x)>0hArr x>n $
Ma in questo modo non trovo un massimo, se invece valuto tutto in modulo come nella definizione ho:
$ D(f_n(x)-f(x))= (8(n-x))/(2+4(n-x)^2) $
trovo che il massimo è $ x=n $
Ora la mia prima domanda è, qual è il modo giusto di valutare la derivata?Posso togliere il modulo e considerare 1 al numeratore? Perchè con e senza modulo ho due valori diversi e mi sto confondendo parecchio.
Poi, devo valutare
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = \lim_{x\rightarrow \infty }max{|f_n(x)-f(x)| : x\in R} \)
Oppure:
\( \lim_{n\rightarrow \infty } sup|f_n(x)-f(x)| = \lim_{x\rightarrow \infty }max{|f_n(x)| : x\in R} \) ??
Cioè andando a sostituire $ x=n $ (nel caso sia massimo) proprio in $ f_n(x)=(n-x)^2/(1+2(n-x)^2) $ oppure in $ (f_n(x)-f(x))$ ??
In generale so che se $ lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x) $ dove $x_n=n$ e $f(x)=1/2$ allora converge uniformemente.
Poi,è giusto un secondo metodo per maggiorazioni?Cioè:
$ 0<=|f_n(x)-f(x)|=|(-1)/(2+4(n-x)^2)|<=(1)/(2+4(n-x)^2)rarr 0 $
per $ (nrarr oo ) $ e quindi converge uniformemente.
3) Trovo che converge uniformemente nell'intervallo considerando il sup come
$ 0<=|(-1)/(2+4(n-x)^2)|<=(1)/(2+4(n-1)^2)rarr 0 $
per $ (nrarr oo ) $
Potete chiarirmi la situazione?
Risposte
Grazie infinite per la risposta, un'ultima cosa: ho trovato questa relazione sul libro
$lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x)$
Quando è che mi è utile considerarla? Cioè proprio come trovato in questo caso sostituendo $x_n=n$ non risulta $f(x)=1/2$?
$lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x)$
Quando è che mi è utile considerarla? Cioè proprio come trovato in questo caso sostituendo $x_n=n$ non risulta $f(x)=1/2$?
Si scusami, ciò che c'è scritto esattamente è:
Sia $ f_n(x) $ una successione di funzioni continue nell'intervallo I di R, convergente uniformemente in I verso f. Si verifica che se $ x_n,x in I $ e $ x_nrarr x $ $ rArr $ $ lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x) $
Forse in questo caso non c'entra perchè nel secondo punto dell'esercizio l'insieme è tutto R, però comunque non capisco come sfruttarla dato che a volte viene usata dal libro ed altre no
Sia $ f_n(x) $ una successione di funzioni continue nell'intervallo I di R, convergente uniformemente in I verso f. Si verifica che se $ x_n,x in I $ e $ x_nrarr x $ $ rArr $ $ lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x) $
Forse in questo caso non c'entra perchè nel secondo punto dell'esercizio l'insieme è tutto R, però comunque non capisco come sfruttarla dato che a volte viene usata dal libro ed altre no
Ciao Valchiria: penso ti basti considerare che
@arnett: quello che dici tu è un’altra cosa in quanto la convergenza uniforme sicuramente implica la continuità della funzione limite e non solo, si ha che
Che è quello che garantisce la convergenza uniforme.
$|f_n(x_n)-f(x)|leq|f_n(x_n)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|$
@arnett: quello che dici tu è un’altra cosa in quanto la convergenza uniforme sicuramente implica la continuità della funzione limite e non solo, si ha che
$f(x)=lim_(m->+infty)f(x_m)=lim_(m->+infty)lim_(n->+infty)f_n(x_m)$
Che è quello che garantisce la convergenza uniforme.
Questo asserto viene usato per esempio in:
studiare la convergenza di $ g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2) $ in $ I=[-1,1] $
Trovo che il limite puntuale è 0, per la convergenza uniforme studio $ g'_n(x)=(n-x^2n^3)/((1+n^2x^2)^2 $
Allora trovo il massimo in $x=1/n$
E ho visto che il libro nella soluzione scrive che dato che deve valere
$ lim_(n -> oo ) g_n(x_n)= f(x) $
risulta però
$ lim_(n -> oo ) g_n(1/n)= 1/2!= 0 $
che è diverso dal limite puntuale, concludendo così che la convergenza non è uniforme.
Da questo esempio mi erano venuti i dubbi su quando è possibile usare $lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x)$ negli esercizi
studiare la convergenza di $ g_n(x)=(nx)/(1+n^2x^2) $ in $ I=[-1,1] $
Trovo che il limite puntuale è 0, per la convergenza uniforme studio $ g'_n(x)=(n-x^2n^3)/((1+n^2x^2)^2 $
Allora trovo il massimo in $x=1/n$
E ho visto che il libro nella soluzione scrive che dato che deve valere
$ lim_(n -> oo ) g_n(x_n)= f(x) $
risulta però
$ lim_(n -> oo ) g_n(1/n)= 1/2!= 0 $
che è diverso dal limite puntuale, concludendo così che la convergenza non è uniforme.
Da questo esempio mi erano venuti i dubbi su quando è possibile usare $lim_(n -> oo ) f_n(x_n)= f(x)$ negli esercizi
Considera $|f_n(x_n)-f(x)|leq|f_n(x_n)-f(x_n)|+|f(x_n)-f(x)|$
Dove ${x_n}_(n inNN)$ è una successione di $I$ tale che $x_n->x inI$
Allora vediamo dove interviene la convergenza uniforme...
Sappiamo, dalla convergenza uniforme, che:
$forallepsilon>0exists k inNN: foralln inNN(n>k => ||f_n-f||
Ovvero la ‘più grande’ distanza tra $f_n,f$ non supera $epsilon$
Da questo è chiaro, che essendo $|f_n(x)-f(x)|leq||f_n-f||,forallx inI$ segue che
Ovvero la ‘più grande’ distanza tra $f_n,f$ non supera $epsilon$
Da questo è chiaro, che essendo $|f_n(x)-f(x)|leq||f_n-f||,forallx inI$ segue che
$|f_n(x)-f(x)|
Risulta chiaro dunque che se ${x_n}_(n inNN)$ è una successione di $I$
Allora che $n>k$ avremo che
L’altra può essere anche maggiorata a piacere in quanto il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua e pertanto $f(x_n)->f(x)$
Quindi “l’uniformità” della convergenza è fortemente usata per stimare quella distanza.
Questo significa che se $f:NN->C(RR^(J))$ é una successione di funzioni continue convergente uniformemente a una funzione $g$ necessariamente dovrà essere che per ogni successione di $J$ che converge ad un punto di $J$ si abbia
Questo fatto negli esercizi lo puoi usare per mostrare che una successione di funzioni non convergenza uniformemente.
Un esempio per cui funziona questa cosa è la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ in $[-a,a]$ con $0
Invece al contrario per $a>1$ non vi converge uniformemente infatti basta prenderebbe la successione
$x_n=a-1/n$ che sta in $[-a,a]$ e converge ad $a$ ma
$f(x_n)=(a-1/n)^n=a^n(1-1/(an))^ngeqa^n(1-1/a)->+inftyne0$
Nell’ultima disuguaglianza ho usato Bernoulli dove $(1+x)^ngeq1+nx,forallxgeq-1$
Risulta chiaro dunque che se ${x_n}_(n inNN)$ è una successione di $I$
Allora che $n>k$ avremo che
$|f_n(x_n)-f(x_n)|k$
L’altra può essere anche maggiorata a piacere in quanto il limite uniforme di una successione di funzioni continue è una funzione continua e pertanto $f(x_n)->f(x)$
Quindi “l’uniformità” della convergenza è fortemente usata per stimare quella distanza.
Questo significa che se $f:NN->C(RR^(J))$ é una successione di funzioni continue convergente uniformemente a una funzione $g$ necessariamente dovrà essere che per ogni successione di $J$ che converge ad un punto di $J$ si abbia
$lim_(n->+infty)f_n(x_n)=f(x)$
Questo fatto negli esercizi lo puoi usare per mostrare che una successione di funzioni non convergenza uniformemente.
Un esempio per cui funziona questa cosa è la successione di funzioni $f_n(x)=x^n$ in $[-a,a]$ con $0
$foralln inNN, |(x_n)^n|=|x_n|^nleq a^n->0$
Invece al contrario per $a>1$ non vi converge uniformemente infatti basta prenderebbe la successione
$x_n=a-1/n$ che sta in $[-a,a]$ e converge ad $a$ ma
$f(x_n)=(a-1/n)^n=a^n(1-1/(an))^ngeqa^n(1-1/a)->+inftyne0$
Nell’ultima disuguaglianza ho usato Bernoulli dove $(1+x)^ngeq1+nx,forallxgeq-1$
Ok, vediamo se ho capito..Nell'esempio da te citato ho $f_n(x)=x^n$ che converge puntualmente a $0$ ed uniformemente in $I=[-a,a]$, $01$ dovrebbe valere $lim_(n->+infty)f_n(x_n)=f(x)=0$ $forall$ successione $x_n$ convergente ad $x inI$.
Ora, mi basta trovare una $x_n$ che converge ad un certo $x$ appartenente all'intervallo per cui non vale $lim_(n->+infty)f_n(x_n)=f(x)=0$ ?
Appunto tu hai scelto $x_n=a-1/n$ che converge ad $ain [-a,a]$ per cui si verifica che non è vero che vale per ogni successione..mi rimane un dubbio su questa cosa, sono io a dover scegliere una successione per cui non vale, a patto che questa successione converga a qualcosa che sta nell'intervallo considerato?
Ora, mi basta trovare una $x_n$ che converge ad un certo $x$ appartenente all'intervallo per cui non vale $lim_(n->+infty)f_n(x_n)=f(x)=0$ ?
Appunto tu hai scelto $x_n=a-1/n$ che converge ad $ain [-a,a]$ per cui si verifica che non è vero che vale per ogni successione..mi rimane un dubbio su questa cosa, sono io a dover scegliere una successione per cui non vale, a patto che questa successione converga a qualcosa che sta nell'intervallo considerato?
Perché di fatto se converge uniformemente per qualsiasi successione $x_n$ la quantità $f_n(x_n)$ deve convergere ad un numero reale e in particolare al valore di $f(x)$.
Tu sai che:
Se $f_n -> f$ uniformemente allora $forall{x_n}subseteqI:x_n->x in I => f_n(x_n)->f(x)$
Pertanto per contronominale:
Se $exists{x_n}subseteqI:x_n->x$ e $f_n(x_n)$ non converge a $f(x)$ allora $f_n$ non tende uniformemente a $f$
Tu sai che:
Se $f_n -> f$ uniformemente allora $forall{x_n}subseteqI:x_n->x in I => f_n(x_n)->f(x)$
Pertanto per contronominale:
Se $exists{x_n}subseteqI:x_n->x$ e $f_n(x_n)$ non converge a $f(x)$ allora $f_n$ non tende uniformemente a $f$
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