Convergenza Puntuale ed Uniforme
Buongiorno ragazzi 
Sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Studiare la convergenza in [-1,1] della successione di funzioni:
$ x/(1+sqrt(n|x|)) $
La successione converge puntualmente a 0 giusto?
Per quanto riguarda la convergenza Uniforme, come posso muovermi?
Ho Pensato di calcolare il sup come da definizione e poi farne il limite per vedere se tende a 0
ma come si procede?
c'e' qualche altra strada?
Sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Studiare la convergenza in [-1,1] della successione di funzioni:
$ x/(1+sqrt(n|x|)) $
La successione converge puntualmente a 0 giusto?
Per quanto riguarda la convergenza Uniforme, come posso muovermi?
Ho Pensato di calcolare il sup come da definizione e poi farne il limite per vedere se tende a 0
ma come si procede?
c'e' qualche altra strada?
Risposte
Puoi studiare la funzione (basta per $0\le x \le 1$, visto che le $f_n$ sono dispari e il limite puntuale è nullo).
In alternativa, puoi osservare che, sempre per $x\ge 0$,
\[ \frac{x}{1+\sqrt{nx}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{nx}}{1+\sqrt{nx}} \leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{n}} . \]
Di conseguenza
\[ \sup_{x\in [-1,1]} |f_n(x) | \leq \frac{1}{\sqrt{n}} . \]
In alternativa, puoi osservare che, sempre per $x\ge 0$,
\[ \frac{x}{1+\sqrt{nx}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{nx}}{1+\sqrt{nx}} \leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{n}} . \]
Di conseguenza
\[ \sup_{x\in [-1,1]} |f_n(x) | \leq \frac{1}{\sqrt{n}} . \]
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