Convergenza puntuale ed Uniforme
Ciao ragazzi potreste aiutarmi con questo esercizio? Grazie.
Data la seguente successione di funzione $f_n(x)= 1/(1+nx^2) $
su $x in R$ studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Ho pensato di procedere nel seguente modo:
Uso il criterio del confronto asintotico
$sum_(n=1)^(infty)(f_n(x))~ sum_(n=1)^(infty)(1/(nx^2))$
La serie diverge per ogni x dell'intervallo considerato....
Posso dire che divergendo su tutto R allora la serie non può convergere uniformemente?
(So che devo stare attento quando ho convergenza puntuale che non implica convergenza uniforme)
Data la seguente successione di funzione $f_n(x)= 1/(1+nx^2) $
su $x in R$ studiarne la convergenza puntuale e uniforme.
Ho pensato di procedere nel seguente modo:
Uso il criterio del confronto asintotico
$sum_(n=1)^(infty)(f_n(x))~ sum_(n=1)^(infty)(1/(nx^2))$
La serie diverge per ogni x dell'intervallo considerato....
Posso dire che divergendo su tutto R allora la serie non può convergere uniformemente?
(So che devo stare attento quando ho convergenza puntuale che non implica convergenza uniforme)
Risposte
ma devi studiare la serie o la successione di funzioni? supponendo la serie il procedimento mi sembra corretto.
per l'ultima domanda: abbiamo che la convergenza uniforme implica quella puntuale, per cui usando la contronominale abbiammo che se non converge puntualmente allora non converge uniformemente (nel nostro caso su tutto $RR$).
per l'ultima domanda: abbiamo che la convergenza uniforme implica quella puntuale, per cui usando la contronominale abbiammo che se non converge puntualmente allora non converge uniformemente (nel nostro caso su tutto $RR$).
Grazie mille cooper(avevo dimenticato di scrivere per la serie).
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