Convergenza puntuale ed uniforme

[smaug1]

Quando dimostra che non converge uniformemente, nella formula, al posto di $f (x)$ cosa mette? $0$ o $1$? Mi aiutate?

[Sk_Anonymous]

"Mettere nella formula" è un'espressione a mio avviso poco felice. Tu, comunque, cosa risponderesti?
Posto \(\displaystyle g(x)=f_{n}(x)-f(x) \), riesci ad intuire il significato di quel \(\displaystyle \sup \) ( - che, ricordo, è "calcolato" al variare di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle [0,1] \))?

[smaug1]

dovrebbe essere il massimo valore di quella differenza in modulo?

[Sk_Anonymous]

"smaug":dovrebbe essere il massimo valore di quella differenza in modulo?

Sì, l'estremo superiore. E' abbastanza facile notare che per \(\displaystyle x \in [0,1) \) è \(\displaystyle f(x)=0\) ma, passami la seguente scrittura, \(\displaystyle f_{n}(x) \to 1^{-} \) e quindi \(\displaystyle \sup_{x \in [0,1]} |f_{n}(x) - f(x)|=1 \).

[smaug1]

Ok quindi $f(x)= 0$ per cui mi rimane $|x^n|$ che è massimo in $[0,1]$ in $1$

grazie mille

[Sk_Anonymous]

"smaug":Ok quindi $f(x)= 0$ per cui mi rimane $|x^n|$ che è massimo in $[0,1]$ in $1$
[...]

Ni. \(\displaystyle f_{n}(x) \) assume massimo per \(\displaystyle x=1 \), ma per tale valore \(\displaystyle f(x)=1 \) e quindi si avrebbe \(\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|=0 \).
Non a caso ho ribadito che si tratta di estremo superiore: infatti si ha \(\displaystyle \sup_{x \in [0,1)}|x^n|=1 \) ma \(\displaystyle f(x)=0 \) se \(\displaystyle x \in [0,1) \), donde la tesi.

[smaug1]

...il minimo dei maggioranti...per me queste cose sono abbastanza difficili! Grazie mille