Convergenza puntuale e uniforme per le serie
salve a tutti
mi potete spiegare qual è la differenza tra la convergenza puntuale e quella uniforme per le serie?
quali proprietà hanno?
grazie mille a tutti
mi potete spiegare qual è la differenza tra la convergenza puntuale e quella uniforme per le serie?
quali proprietà hanno?
grazie mille a tutti
Risposte
Data una successione di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb{N}}$, definite su $\Omega\subseteq\mathbb{C}$ a valori in $\mathbb{C}$, diciamo che la serie
$$ \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x) $$
converge puntualmente a $g(x)$ su $\Omega$ se per ogni $z\in\Omega$ si ha:
$$ \lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^{N}f_n(z) = g(z),$$
mentre diciamo che converge uniformemente a $g(x)$ se si ha:
$$ \lim_{N\to +\infty}\sup_{x\in\Omega}\left\|g(x)-\sum_{n=1}^{N}f_n(x)\right\|=0.$$
Ovviamente, convergenza uniforme implica convergenza puntuale.
$$ \sum_{n=0}^{+\infty}f_n(x) $$
converge puntualmente a $g(x)$ su $\Omega$ se per ogni $z\in\Omega$ si ha:
$$ \lim_{N\to +\infty}\sum_{n=1}^{N}f_n(z) = g(z),$$
mentre diciamo che converge uniformemente a $g(x)$ se si ha:
$$ \lim_{N\to +\infty}\sup_{x\in\Omega}\left\|g(x)-\sum_{n=1}^{N}f_n(x)\right\|=0.$$
Ovviamente, convergenza uniforme implica convergenza puntuale.
piu' che altro non mi è ben chiara la differenza a livello teorico
Una è una condizione di convergenza per la successione dei valori assunti in un punto, l'altra è una condizione di convergenza di una successione di funzioni nella metrica del sup; la prima è una condizione locale, la seconda globale.
Un esempio classico che in genere viene fatto per chiarire la differenza, è quello di considerare la successione di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\inmathbb{N}}$ definite sull'intervallo $(0,1)$ da $f_n(x)=x^n$. E' semplice osservare che questa successione converge puntualmente alla funzione che vale identicamente $1$ su tutto l'intervallo $(0,1)$, ma che non si ha convergenza uniforme in quanto, per ogni $n$,
$$sup_{x\in(0,1)} |1-x^n| = 1.$$
Un altro modo per provare che non si ha convergenza uniforme è appellarsi al seguente Teorema (che ti invito a dimostrare): se una successione di funzioni continue definite su un compatto $K$ converge uniformemente a una certa funzione $g$, quest'ultima è continua.
Consideriamo le $f_n$ di prima definite sul compatto $[0,1]$. Queste sono tutte continue, ma convergono puntualmente a una funzione che è discontinua in $0$. Di conseguenza la convergenza non può essere uniforme.
Un esempio classico che in genere viene fatto per chiarire la differenza, è quello di considerare la successione di funzioni $\{f_n(x)\}_{n\inmathbb{N}}$ definite sull'intervallo $(0,1)$ da $f_n(x)=x^n$. E' semplice osservare che questa successione converge puntualmente alla funzione che vale identicamente $1$ su tutto l'intervallo $(0,1)$, ma che non si ha convergenza uniforme in quanto, per ogni $n$,
$$sup_{x\in(0,1)} |1-x^n| = 1.$$
Un altro modo per provare che non si ha convergenza uniforme è appellarsi al seguente Teorema (che ti invito a dimostrare): se una successione di funzioni continue definite su un compatto $K$ converge uniformemente a una certa funzione $g$, quest'ultima è continua.
Consideriamo le $f_n$ di prima definite sul compatto $[0,1]$. Queste sono tutte continue, ma convergono puntualmente a una funzione che è discontinua in $0$. Di conseguenza la convergenza non può essere uniforme.
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