Convergenza puntuale e uniforme, dubbi appunti
Salve, dagli appunti della prof non mi risultano chiari dei passaggi .In pratica ho questo esercizio dove mi chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni:
fn(x)={n -1/n
Mi dice che la successione di funzioni (fn) non converge puntualmente in R in quanto $ AA x€R-{0} $ fn converge puntualmente a zero mentre per x=0 $ lim $ n fn(0)=+ $ oo $ . Poi dice che la successione converge puntualmente in R-{0} ( non è una contraddizione con quanto detto in precedenza O.o????) ma non uniformemente
Infatti dice Sup con x€R-{0}= $ | fn-f | $ = Sup x€R-{0} n che tende a + infinito.
(fn) converge uniformemente in ogni intervallo del tipo [a,+inf] e [-inf,a] con a>0 alla funzione identicamente nulla. Francamente non ci ho capito niente :/
fn(x)={n -1/n
Mi dice che la successione di funzioni (fn) non converge puntualmente in R in quanto $ AA x€R-{0} $ fn converge puntualmente a zero mentre per x=0 $ lim $ n fn(0)=+ $ oo $ . Poi dice che la successione converge puntualmente in R-{0} ( non è una contraddizione con quanto detto in precedenza O.o????) ma non uniformemente
Infatti dice Sup con x€R-{0}= $ | fn-f | $ = Sup x€R-{0} n che tende a + infinito.
(fn) converge uniformemente in ogni intervallo del tipo [a,+inf] e [-inf,a] con a>0 alla funzione identicamente nulla. Francamente non ci ho capito niente :/
Risposte
Intanto riscrivo la successione di funzioni: \[f_n (x) := \begin{cases} n & \text{if } \ x \in [-1/n, 1/n] \\ 0 & \text{if } \ x \in (-\infty, -1/n ) \cup (1/n , +\infty). \end{cases}\]In effetti \[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left[ -\frac{1}{n} , \frac{1}{n} \right] = \{0 \} \]e quindi la successione di funzioni in questione non converge su \(\mathbb{R}\), perché la funzione limite dovrebbe valere \(+\infty\) per \(x=0\), e questo non è ammesso (a meno che si parli di distribuzioni). Tuttavia abbiamo comunque convergenza puntuale su \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}\); questo mi sembra ovvio.
Per quanto concerne la convergenza uniforme, ovviamente non v'è in \(\mathbb{R}\), visto che non è ivi nemmeno puntuale. Vediamo cosa succede invece in \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \); Indico con \(f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) la funzione limite: \[ \sup_{x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} } |f_n - f | = n \to \infty \] se \(n \to \infty\), quindi non v'è convergenza uniforme nemmeno in \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \). Tuttavia per ogni \( \alpha \ge 1 \), \[ \sup_{x \in \mathbb{R} \setminus [-\alpha, \alpha]} |f_n - f | = 0. \]E in effetti mi pare che questo valga anche se \(0 < \alpha < 1 \).
Per quanto concerne la convergenza uniforme, ovviamente non v'è in \(\mathbb{R}\), visto che non è ivi nemmeno puntuale. Vediamo cosa succede invece in \(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \); Indico con \(f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \) la funzione limite: \[ \sup_{x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} } |f_n - f | = n \to \infty \] se \(n \to \infty\), quindi non v'è convergenza uniforme nemmeno in \( \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \). Tuttavia per ogni \( \alpha \ge 1 \), \[ \sup_{x \in \mathbb{R} \setminus [-\alpha, \alpha]} |f_n - f | = 0. \]E in effetti mi pare che questo valga anche se \(0 < \alpha < 1 \).
quindi come presupponevo 
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