Convergenza puntuale e uniforme
ho una congettura: una successione decrescente di funzioni convergente a una funzione puntualmente su un compatto ci converge uniformemente. E' vera?
Risposte
Yes. Questo teorema è dovuto a U. Dini. Vedi Rudin Principi di analisi matematica, cap. 7 oppure Marcellini-Sbordone Analisi matematica 2 §1.4 ("Convergenza uniforme e monotonia").
non li ho questi testi...sono difficili le dimostrazioni?
Ecco, qui c'è uno screenshot da Principles of mathematical analysis con questo teorema:
Nota che è richiesta anche la continuità delle $f_n$ e anche di $f$, cosa che non avevamo sottolineato nei post precedenti. Si tratta di condizioni davvero necessarie: ad esempio la successione (già portata ad esempio molte volte ormai)
$f_n(x)=1-x^n, 0<=x<=1$ converge puntualmente a $f(x)={(1, 0<=x<1), (0, x=1):}$, che non è continua. Nonostante la convergenza sia monotona (in questo esempio è monotona crescente, nel teorema è monotona decrescente; a rigore dovremmo considerare $-f_n,\ -f$ per un controesempio completamente calzante) essa non è uniforme. Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/spi ... 54018.html
Nota che è richiesta anche la continuità delle $f_n$ e anche di $f$, cosa che non avevamo sottolineato nei post precedenti. Si tratta di condizioni davvero necessarie: ad esempio la successione (già portata ad esempio molte volte ormai)
$f_n(x)=1-x^n, 0<=x<=1$ converge puntualmente a $f(x)={(1, 0<=x<1), (0, x=1):}$, che non è continua. Nonostante la convergenza sia monotona (in questo esempio è monotona crescente, nel teorema è monotona decrescente; a rigore dovremmo considerare $-f_n,\ -f$ per un controesempio completamente calzante) essa non è uniforme. Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/spi ... 54018.html
Una osservazione: la dimostrazione dello screenshot usa alcuni teoremi di topologia generale. Forse il 2.36 può non essere ovvio: si tratta della "proprietà dell'intersezione finita" delle famiglie di insiemi compatti:
Theorem 2.36 If $K_{alpha}$ is a collection of compact subsets of a metric space $X$ such that the intersection of every finite subcollection of ${K_alpha}$ is nonempty, then $\cap K_alpha$ is nonempty.
(Nota mia: lui assume che $X$ sia uno spazio metrico per questione di convenienza ma il risultato è vero nell'ipotesi più generale che $X$ sia uno spazio di Hausdorff).
Theorem 2.36 If $K_{alpha}$ is a collection of compact subsets of a metric space $X$ such that the intersection of every finite subcollection of ${K_alpha}$ is nonempty, then $\cap K_alpha$ is nonempty.
(Nota mia: lui assume che $X$ sia uno spazio metrico per questione di convenienza ma il risultato è vero nell'ipotesi più generale che $X$ sia uno spazio di Hausdorff).
ah..carina come dimostrazione: a me stava venendo in mente una strada molto + complessa...
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