Convergenza puntuale e uniforme.
Buonasera, sto studiando le successioni di funzioni e facendo alcuni esercizi sulle successioni di funzioni $(f_n)_(n in NN)$, cioè data una successione di funzioni
$(f_n)_(n in NN)$ convergente puntualmente in $I subseteq dom(f_n)$ mi viene chiesto di determinare un intervallo $I'subset I$ in cui converge uniformemente.
Adesso mi chiedo, esiste sempre un siffatto intervallo $I'$? quando esiste perché vale il criterio di Cauchy per le successioni di funzioni, cioè se
allora, posto $N'=max{N(epsilon, t): t in I}$, risulta $|f_n(t)-f_m(t)|N'$, $forall t in I'$ e quindi converge uniformemente in $I'$
$(f_n)_(n in NN)$ convergente puntualmente in $I subseteq dom(f_n)$ mi viene chiesto di determinare un intervallo $I'subset I$ in cui converge uniformemente.
Adesso mi chiedo, esiste sempre un siffatto intervallo $I'$? quando esiste perché vale il criterio di Cauchy per le successioni di funzioni, cioè se
$(f_n)_(n in NN)$ converge puntualmente in $I$ sse, fissato $epsilon >0$, $forall t in I$, esiste $N=N(epsilon, t)$ risulta $|f_n(t)-f_m(t)|N$
allora, posto $N'=max{N(epsilon, t): t in I}$, risulta $|f_n(t)-f_m(t)|
Risposte
No, non esiste sempre.
Ad esempio, chiama $(r_n)$ un'enumerazione dei razionali compresi in $[0,1]$ (cioè un'applicazione biiettiva di $N$ in $QQ nn [0,1]$, che esiste perché $QQ$ è numerabile e denso) e definisci $f_n:[0,1] -> RR$ ponendo:
$f_n(x) := \{(1, ", se " x = r_0", ..., "r_n), (0, ", altrimenti"):}$.
La successione $f_n$ converge puntualmente in $[0,1]$ verso la funzione:
$f(x) := \{(1, ", se " x in QQ), (0, ", se " x notin QQ):}$,
e questo è evidente (perché?)... Ma $f_n$ converge uniformemente in qualche sottointervallo $I' sube [0,1]$?
Pensaci un po'.
Ad esempio, chiama $(r_n)$ un'enumerazione dei razionali compresi in $[0,1]$ (cioè un'applicazione biiettiva di $N$ in $QQ nn [0,1]$, che esiste perché $QQ$ è numerabile e denso) e definisci $f_n:[0,1] -> RR$ ponendo:
$f_n(x) := \{(1, ", se " x = r_0", ..., "r_n), (0, ", altrimenti"):}$.
La successione $f_n$ converge puntualmente in $[0,1]$ verso la funzione:
$f(x) := \{(1, ", se " x in QQ), (0, ", se " x notin QQ):}$,
e questo è evidente (perché?)... Ma $f_n$ converge uniformemente in qualche sottointervallo $I' sube [0,1]$?
Pensaci un po'.
Ciao! Sì, perché la successione di funzione $f_n$ è definita in $[0,1] subseteq RR$, e quindi in tale intervallo ci sono valori sia razionali che irrazionali per cui si ha, $f_n(x)=1$ quando $x=r_i in QQ$, $f_n(x)=0$ quando $ x in RR\\QQ.$
Quindi,
Dunque
La funzione limite $f(x)$ è discontinua in $I$, ma è discontinua anche $I'$ per ogni $I'subseteqI$ poiché $f(x)$ è la funzione di Dirichlet la quale è discontinua in tutto $RR$ con discontinuità di $1^a$ specie e quindi anche in $I'$
Quindi,
$x in QQ to lim_(n to + infty) f_n(r_n)= lim_(n to + infty) 1=1$, $x notin QQ to lim_(n to + infty) f_n(x)= lim_(n to + infty)0 =0$
Dunque
$lim_(n to + infty) f_n(x)=f(x) := \{(1, ", se " x in QQ), (0, ", se " x notin QQ):}$
La funzione limite $f(x)$ è discontinua in $I$, ma è discontinua anche $I'$ per ogni $I'subseteqI$ poiché $f(x)$ è la funzione di Dirichlet la quale è discontinua in tutto $RR$ con discontinuità di $1^a$ specie e quindi anche in $I'$
"Sì" cosa?
A quanto pare hai provato che c'è convergenza puntuale, e va bene.
Ma la convergenza uniforme?
A quanto pare hai provato che c'è convergenza puntuale, e va bene.
Ma la convergenza uniforme?
"gugo82":ho scritto che il limite $f(x)$ è una funzione discontinua, quindi non c'è convergenza uniforme. Questo non basta ?
A quanto pare hai provato che c'è convergenza puntuale, e va bene.
Ma la convergenza uniforme?
"Yuyu_13":ho scritto che il limite $f(x)$ è una funzione discontinua, quindi non c'è convergenza uniforme. Questo non basta ?[/quote]
[quote="gugo82"]A quanto pare hai provato che c'è convergenza puntuale, e va bene.
Ma la convergenza uniforme?
Quali sono le ipotesi del teorema che stai implicitamente usando?
Si hai ragione, infatti, stavo utilizzando il teorema sulla continuità del limite di una successione di funzioni, dove si richiede che la successione di funzioni sia continua, ma quella proposta non lo è.
Posso osservare $mbox{sup}{|f_n(x)-f(x)|: x in QQcap[0,1] }=1$ e quindi $lim_(n to + infty)mbox{sup}{|f_n(x)-f(x)|: x in QQcap[0,1] } ne 0$
Cosi va bene ?
Posso osservare $mbox{sup}{|f_n(x)-f(x)|: x in QQcap[0,1] }=1$ e quindi $lim_(n to + infty)mbox{sup}{|f_n(x)-f(x)|: x in QQcap[0,1] } ne 0$
Cosi va bene ?
Sì, va già meglio.
Ma su quali sottoinsiemi di $[0,1]$ vale $"sup" |...| = 1$?
Qui sta il bello.
Ma su quali sottoinsiemi di $[0,1]$ vale $"sup" |...| = 1$?
Qui sta il bello.
Ciao. Non so darti risposta. Ci provo.
Se considero $[a,b] subseteq [0,1] subseteq RR$ allora, $x in [a,b] to x in QQ or x in RR-QQ$ e quindi
Se considero $[a,b] subseteq [0,1] subseteq RR$ allora, $x in [a,b] to x in QQ or x in RR-QQ$ e quindi
$x in QQ => f_n(x)=1=f(x), x in RR-QQ => f_n(x)=0=f(x)$
allora in ogni caso vale \(\displaystyle f_n([a,b])= \)${0,1}$, \(\displaystyle f([a,b])= \)${0,1}$
Ora se vado a valutare la differenza $f_n-f$ su $x in [a,b]$ risulta nulla, quindi quello che ho detto è falso. Però l'intuito mi dice di no.
Come fai a dedurre dalle immagini di $f_n$ ed $f$ che $f_n-f = 0$ su $[a,b]$?
Hai provato a farti un esempio?
Hai provato a farti un esempio?
Dico quello che penso senza formalizzarlo, dimodoché se siamo sulla strada giusta ci possiamo lavorare. Se prendo un $x in QQ$ allora, per la densità, abbiamo che in qualsiasi suo intorno esistono punti di reali e quindi valutando la differenza in $x$ di $f_n$ con $f$ si hanno valori sia di uno che di zero.
"Yuyu_13":
Dico quello che penso senza formalizzarlo, dimodoché se siamo sulla strada giusta ci possiamo lavorare.
E su questo non ci piove… Però ti incammini su un crinale molto scivoloso se credi che conoscendo le immagini di due funzioni si possa dedurre qualcosa sull’immagine della loro somma/differenza.
Perché? Riesci a costruire qualche esempio?
"Yuyu_13":
Se prendo un $x in QQ$ allora, per la densità, abbiamo che in qualsiasi suo intorno esistono punti di reali e quindi valutando la differenza in $x$ di $f_n$ con $f$ si hanno valori sia di uno che di zero.
Se rileggi con attenzione capisci che non hai detto nulla.
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