Convergenza puntuale e uniforme

[bblack25]

Salve,
mi servirebbe un aiuto con questo esercizio:
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni e verificare se è possibile scambiare limite e integrale in [a,b]

$fn(x)=x/(1+n^2x^2)$

Per la convergenza puntuale basterebbe effettuare il limite per $n->\infty fn(x)$ e vedere se converge e per quella uniforme $limx->\infty$sup$ | fn(x)-f(x) | $.Confermate?Avrei problemi con la seconda parte...grazie

[Maci86]

Usiamo la definizione, così faccio un po' di esercizio:
Convergenza puntuale:
$forall epsilon>0 , forall x in[-oo,+oo) , exists \bar(n) in NN: forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)| Nel nostro caso la nostra candidata limite, $f(x)$ è la funzione costante uguale a zero, poniamo $x≠0$:
$|x/(1+n^2x^2) -0| Convergenza uniforme:
$forall epsilon>0, exists \bar(n) in NN: forall x in[-oo,+oo) ,forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)| In questo caso, dividiamo in due il problema $|x|< epsilon$ e $|x|≥epsilon$:
1) $|x/(1+n^2x^2) -0| 2) $|x/(1+n^2x^2) -0| L'ultimo passaggio in particolare si trova cercando il massimo della funzione:
$(|x|-epsilon)/(epsilon x^2)$

[bblack25]

Grazie anche se su alcuni punti non mi trovo

[Maci86]

Prova a dirmi dove!