Convergenza puntuale e uniforme
Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle successioni di funzioni nell' intervallo considerato:
1) $f_n(x)= (nx)/(1+nx^2)$ per $x in [1,+oo)$
Il $lim_(n->+oo) f_n(x)=1/x$. Per la convergenza uniforme $lim_(n->+oo) max_(x in [1, +oo)) |f_n(x) - f(x)|$ deve essere uguale a 0.
Io ho trovato che $|f_n(x)-f(x)|=|(-1)/(x(1+n^2))|$..come faccio a trovare il sup? Non mi sembra il caso di fare la derivata..ho provato anche con maggiorazioni ma non arrivo a conclusioni.
1) $f_n(x)= (nx)/(1+nx^2)$ per $x in [1,+oo)$
Il $lim_(n->+oo) f_n(x)=1/x$. Per la convergenza uniforme $lim_(n->+oo) max_(x in [1, +oo)) |f_n(x) - f(x)|$ deve essere uguale a 0.
Io ho trovato che $|f_n(x)-f(x)|=|(-1)/(x(1+n^2))|$..come faccio a trovare il sup? Non mi sembra il caso di fare la derivata..ho provato anche con maggiorazioni ma non arrivo a conclusioni.
Risposte
"matemalu":
Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle successioni di funzioni nell' intervallo considerato:
1) $f_n(x)= (nx)/(1+nx^2)$ per $x in [1,+oo)$
Il $lim_(n->+oo) f_n(x)=1/x$. Per la convergenza uniforme $lim_(n->+oo) max_(x in [1, +oo)) |f_n(x) - f(x)|$ deve essere uguale a 0.
Io ho trovato che $|f_n(x)-f(x)|=|(-1)/(x(1+n^2))|$..come faccio a trovare il sup? Non mi sembra il caso di fare la derivata..ho provato anche con maggiorazioni ma non arrivo a conclusioni.
Risulta...
$max_(x in [1, +oo)) |(-1)/(x(1+n^2))| = \frac{1}{1+n^{2}}$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Come faccio a giungere a questa conclusione? Devo sfruttare il fatto che $x(1+n^2) >= (1+n^2)$
In $[1, + \infty)$ il valore di x che massimizza l'espressione $|- \frac{1}{x\ (1+n^{2})}|$ e' x=1...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Grazie mille 
Ora invece ho problema con quest' altra successione di funzioni: $f_n(x) = x^(1+1/n)$ per $x in [0,2]$
Io ho trovato che $f_n(x)$ converge puntualmente a $x$.
Per la convergenza uniforme: siccome ho un intervallo chiuso e limitato e la $f_n(x)$ è continua, per Weierstrass, ammette massimo! Calcolando la derivata di $|x^(1+1/n)-x|$ ottengo $|(1+1/n)x^(1/n)-1|$ che si annulla per $x = 1/(1+1/n)^n$.. a me questo punto risulta essere di minimo perché la funzione cresce a destra e decresce a sinistra del punto, il prof per lo stesso esercizio dice che è un massimo
nel caso sia un minimo, quel punto non mi serve, quindi ho pensato che, dal momento che la funzione cresce a destra, il max è assunto in $x=2$
Ora invece ho problema con quest' altra successione di funzioni: $f_n(x) = x^(1+1/n)$ per $x in [0,2]$
Io ho trovato che $f_n(x)$ converge puntualmente a $x$.
Per la convergenza uniforme: siccome ho un intervallo chiuso e limitato e la $f_n(x)$ è continua, per Weierstrass, ammette massimo! Calcolando la derivata di $|x^(1+1/n)-x|$ ottengo $|(1+1/n)x^(1/n)-1|$ che si annulla per $x = 1/(1+1/n)^n$.. a me questo punto risulta essere di minimo perché la funzione cresce a destra e decresce a sinistra del punto, il prof per lo stesso esercizio dice che è un massimo
nel caso sia un minimo, quel punto non mi serve, quindi ho pensato che, dal momento che la funzione cresce a destra, il max è assunto in $x=2$
Per ogni $x \in [0,2]$ e' ...
$\lim_{n \rightarrow \infty} |x^{1+ \frac{1}{n}} - x| =0$ (1)
... per cui non ha molta importanza trovare dove sia il massimo perche' questo comunque tende a zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\lim_{n \rightarrow \infty} |x^{1+ \frac{1}{n}} - x| =0$ (1)
... per cui non ha molta importanza trovare dove sia il massimo perche' questo comunque tende a zero...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$f_n(x)= (nx)/(1+nx^2)$
Usiamo la definizione di convergenza puntuale, così facci(am)o un po' di esercizio:
$forall epsilon>0 , forall x in[1,+oo) , exists \bar(n) in NN$ $:$ $forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)|
$|(nx)/(1+nx^2) -1/x| (1-epsilon)/(x^2epsilon^2) Rightarrow \bar(n)= [((1-epsilon)/(x^2epsilon^2))] +1$.
Ora usiamo quella di convergenza uniforme:
$forall epsilon>0 , exists \bar(n)$ $:$ $ forall x in[1,+oo) in NN , forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)|
$|(nx)/(1+nx^2) -1/x| (1-epsilon)/(x^2epsilon^2) Rightarrow \bar(n)= [((1-epsilon)/(epsilon^2))]+1$.
Saltando un po' di passaggi ma usando le definizioni, per la seconda ottieni:
$f(x)=0$, candidata limite.
Puntuale:
$|x^(1+1/n) -x -0|
1)$0
2)$x≥1 Rightarrow |x^(1/n)-1|=x^(1/n)-1 Rightarrow x^(1/n)-1
Per la discussione dell'uniformità dobbiamo essere meno "leggeri" nei passaggi, in particolare per il tendere della funzione a 0, dove avremo la massima escursione:
$|x^((n+1)/n) -x -0|
$|x|
$|(x^(1/n)-1)| 1-epsilon Rightarrow log(x)/n>log(1-epsilon)Rightarrow n>log(x)/log(1-epsilon) Rightarrow$$Rightarrow \bar(n)=log(x)/log(1-epsilon) x in [delta, 1]$
$|(x^(1/n)-1)|<1 Rightarrow 1-x^(1/n)<1 Rightarrow forall x in [0,1]$
Questo quindi implica che scegliendo bene gli intervalli su cui lavorare avremo che:
$\bar(n)= max{[-log(epsilon)/log(1-epsilon)] +1, [ log(2)/log(1+epsilon/2)] +1}$
Usiamo la definizione di convergenza puntuale, così facci(am)o un po' di esercizio:
$forall epsilon>0 , forall x in[1,+oo) , exists \bar(n) in NN$ $:$ $forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)|
$|(nx)/(1+nx^2) -1/x|
Ora usiamo quella di convergenza uniforme:
$forall epsilon>0 , exists \bar(n)$ $:$ $ forall x in[1,+oo) in NN , forall n in NN, n>\bar(n)$
$|f_n(x) -f(x)|
$|(nx)/(1+nx^2) -1/x|
Saltando un po' di passaggi ma usando le definizioni, per la seconda ottieni:
$f(x)=0$, candidata limite.
Puntuale:
$|x^(1+1/n) -x -0|
1)$0
2)$x≥1 Rightarrow |x^(1/n)-1|=x^(1/n)-1 Rightarrow x^(1/n)-1
Per la discussione dell'uniformità dobbiamo essere meno "leggeri" nei passaggi, in particolare per il tendere della funzione a 0, dove avremo la massima escursione:
$|x^((n+1)/n) -x -0|
$|x|
$|(x^(1/n)-1)|
$|(x^(1/n)-1)|<1 Rightarrow 1-x^(1/n)<1 Rightarrow forall x in [0,1]$
Questo quindi implica che scegliendo bene gli intervalli su cui lavorare avremo che:
$\bar(n)= max{[-log(epsilon)/log(1-epsilon)] +1, [ log(2)/log(1+epsilon/2)] +1}$
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