Convergenza puntuale e totale serie di funzioni
Ciao a tutti, devo studiare la convergenza puntuale e totale della seguente serie di funzioni:
$ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n x^(2n) $
Pongo $ z=x^2 $, così la serie si riduce ad una serie di potenze $ sum_(n = 1)^(infty) (3^n+4^n)/n z^n $.
Effettuo il $ lim_(n -> +infty)((3^n+4^n)/n)^(1/n) $ e mi trovo come risultato $ 4 $. Dunque, il raggio di convergenza è $ R = 1/4 $ e la serie converge per $ |x^2| < 1/4 $. L'intervallo di convergenza è dunque $ -1/2 < x < 1/2 $. Per $ x = 1/2 $, la serie diventa $ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n (1/4)^n $, per $ x = -1/2 $, la serie diventa $ sum_(n = 1)^(+infty) (-1)^n (3^n+4^n)/n (1/4)^n $: entrambe non convergono. Dunque, la serie di partenza converge puntualmente in $ ]-1/2,1/2[ $ e totalmente in ogni compatto contenuto. E' corretto?
$ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n x^(2n) $
Pongo $ z=x^2 $, così la serie si riduce ad una serie di potenze $ sum_(n = 1)^(infty) (3^n+4^n)/n z^n $.
Effettuo il $ lim_(n -> +infty)((3^n+4^n)/n)^(1/n) $ e mi trovo come risultato $ 4 $. Dunque, il raggio di convergenza è $ R = 1/4 $ e la serie converge per $ |x^2| < 1/4 $. L'intervallo di convergenza è dunque $ -1/2 < x < 1/2 $. Per $ x = 1/2 $, la serie diventa $ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n (1/4)^n $, per $ x = -1/2 $, la serie diventa $ sum_(n = 1)^(+infty) (-1)^n (3^n+4^n)/n (1/4)^n $: entrambe non convergono. Dunque, la serie di partenza converge puntualmente in $ ]-1/2,1/2[ $ e totalmente in ogni compatto contenuto. E' corretto?
Risposte
Ad occhio direi di controllare meglio cosa succede nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.
Domanda bonus: qual è la somma della serie?
Domanda bonus: qual è la somma della serie?
"gugo82":
Ad occhio direi di controllare meglio cosa succede nell'estremo inferiore dell'intervallo di convergenza.
Domanda bonus: qual è la somma della serie?
Giusto, mi sono distratto, per quanto riguarda l'estremo inferiore succede la stessa cosa dell'estremo superiore.
Per quanto riguarda la somma, dovrei ricondurmi alla serie di Taylor che più le somiglia; tuttavia, nessuna mi sembra somigliarle.
Continui a distrarti.
In $-1/2$ la serie è di Leibniz, quindi converge.
In più, la somma della serie contiene dei logaritmi.
In $-1/2$ la serie è di Leibniz, quindi converge.
In più, la somma della serie contiene dei logaritmi.
"gugo82":
Continui a distrarti.
In $-1/2$ la serie è di Leibniz, quindi converge.
In più, la somma della serie contiene dei logaritmi.
Perdonami, ma se io pongo $ x = -1/2 $, la serie non diventa $ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n (1/4)^n $?
Scusa, hai ragione... Mi ero perso un $2$ nell'esponente della $x$.
"gugo82":
Scusa, hai ragione... Mi ero perso un $2$ nell'esponente della $x$.
Nessun problema, grazie mille gugo82
Ciao floyd123,
Si ha:
$ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n x^(2n) = sum_(n = 1)^(+infty) ((3x^2)^n+(4x^2)^n)/n = sum_(n = 1)^(+infty) (3x^2)^n/n + sum_(n = 1)^(+infty) (4x^2)^n/n = $
$ = - ln(1 - 3x^2) - ln(1 - 4x^2) = ln(frac{1}{1 - 3x^2}) + ln(frac{1}{1 - 4x^2}) = $
$ = ln frac{1}{(1 - 3x^2)(1 - 4x^2)} $
per $|x| < 1/2 $
"floyd123":
Per quanto riguarda la somma, dovrei ricondurmi alla serie di Taylor che più le somiglia; tuttavia, nessuna mi sembra somigliarle.
Si ha:
$ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n x^(2n) = sum_(n = 1)^(+infty) ((3x^2)^n+(4x^2)^n)/n = sum_(n = 1)^(+infty) (3x^2)^n/n + sum_(n = 1)^(+infty) (4x^2)^n/n = $
$ = - ln(1 - 3x^2) - ln(1 - 4x^2) = ln(frac{1}{1 - 3x^2}) + ln(frac{1}{1 - 4x^2}) = $
$ = ln frac{1}{(1 - 3x^2)(1 - 4x^2)} $
per $|x| < 1/2 $
"pilloeffe":
Ciao floyd123,
[quote="floyd123"]Per quanto riguarda la somma, dovrei ricondurmi alla serie di Taylor che più le somiglia; tuttavia, nessuna mi sembra somigliarle.
Si ha:
$ sum_(n = 1)^(+infty) (3^n+4^n)/n x^(2n) = sum_(n = 1)^(+infty) ((3x^2)^n+(4x^2)^n)/n = sum_(n = 1)^(+infty) (3x^2)^n/n + sum_(n = 1)^(+infty) (4x^2)^n/n = $
$ = - ln(1 - 3x^2) - ln(1 - 4x^2) = ln(frac{1}{1 - 3x^2}) + ln(frac{1}{1 - 4x^2}) = $
$ = ln frac{1}{(1 - 3x^2)(1 - 4x^2)} $
per $|x| < 1/2 $[/quote]
Grazie infinite!
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