Convergenza puntuale e totale di una serie di potenze
Dovrei determinare gli insiemi per cui la serie $\sum (\sqrt(|x|)e^(-nx)/n)$ converge puntualmente, totalmente e dimostrare che la serie e derivabile termine a termine per ogni x non nullo appartenente a questi insiemi e calcolare la somma della serie.
È messo come suggerimento di vederla come una serie di potenze. Io ho pensato di ricondurvela facendo $\sqrt(|x|) \sum y^n/n $ dove $y=e^(-x)$ . Quindi studiando solo la serie di potenze in y ho ottenuto che converge puntualmente in [-1,1], ma da qui non saprei come considerare il fatto che ho posto $y=e^(-x)$, e quindi l'intervallo che ho trovato è $-1<=y<=1$ e a me serve in x e resta anche da capire come includere il prodotto per radice di x. Come posso proseguire? Ho sbagliato il modo in cui ricondurmi ad una serie di potenze?
È messo come suggerimento di vederla come una serie di potenze. Io ho pensato di ricondurvela facendo $\sqrt(|x|) \sum y^n/n $ dove $y=e^(-x)$ . Quindi studiando solo la serie di potenze in y ho ottenuto che converge puntualmente in [-1,1], ma da qui non saprei come considerare il fatto che ho posto $y=e^(-x)$, e quindi l'intervallo che ho trovato è $-1<=y<=1$ e a me serve in x e resta anche da capire come includere il prodotto per radice di x. Come posso proseguire? Ho sbagliato il modo in cui ricondurmi ad una serie di potenze?
Risposte
Ciao Søren,
E' sempre la solita serie che vedo andare molto di moda ultimamente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) = ln frac{1}{1 - y} \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 $
Quindi, ricordando che si è posto $y = e^{- x} $, si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-nx}/n = - ln(1 - e^{- x}) = ln frac{e^x}{e^x - 1} \qquad $ per $ x > 0 $
E' sempre la solita serie che vedo andare molto di moda ultimamente:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} y^n/n = - ln(1 - y) = ln frac{1}{1 - y} \qquad $ per $ - 1 \le y < 1 $
Quindi, ricordando che si è posto $y = e^{- x} $, si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-nx}/n = - ln(1 - e^{- x}) = ln frac{e^x}{e^x - 1} \qquad $ per $ x > 0 $
Perdonami, ma non riesco a capire come potrei usare questo fatto per studiare la convergenza puntuale della mia serie di partenza...
Beh, siccome sai che la serie converge per $x > 0 $, ovvero per $ x \in (0, +\infty) $, puoi anche omettere il modulo sotto la radice della serie di partenza:
$ sum_{n = 1}^{+\infty} sqrt{|x|} e^{-nx}/n = sqrt{|x|} sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-nx}/n = sqrt{x} ln frac{e^x}{e^x - 1} \qquad $ per $ x > 0 $
$ sum_{n = 1}^{+\infty} sqrt{|x|} e^{-nx}/n = sqrt{|x|} sum_{n = 1}^{+\infty} e^{-nx}/n = sqrt{x} ln frac{e^x}{e^x - 1} \qquad $ per $ x > 0 $
Penso di aver capito. Correggetemi se sbaglio.
Allora la convergenza puntuale sia ha per $x>=0$, convergenza totale negli intervalli I(0,r) dove $r>=0$. La serie è derivabile termine a termine perché è una serie di potenze "travestita" e la somma è $f(x)=\sqrt(x) \log (1/(1-e^(-x)$.
È giusto?
Allora la convergenza puntuale sia ha per $x>=0$, convergenza totale negli intervalli I(0,r) dove $r>=0$. La serie è derivabile termine a termine perché è una serie di potenze "travestita" e la somma è $f(x)=\sqrt(x) \log (1/(1-e^(-x)$.
È giusto?
No, attento, $x > 0 $: per $x = 0 $ il denominatore del logaritmo si annulla... 
Però se nella serie di partenza prendo x=0 ottengo come somma 0, quindi ho la convergenza. Ho pensato di studiare a parte il caso x=0 all'inizio senza ricondurmi alla serie di potenze in questo caso. Va bene?
Ti ringrazio molto per l'aiuto. Ero proprio perso.
Ti ringrazio molto per l'aiuto. Ero proprio perso.
Sì giusto, per $x = 0 $ la serie iniziale proposta ovviamente converge a $0 $.
Di niente!
"Søren":
Ti ringrazio molto per l'aiuto
Di niente!
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