Convergenza puntuale e totale
Salve ragazzi, sto diventando scemo per sta serie, vi posto il testo del problema:
Stabilire se la serie $sum_(n = 1)^(+oo)((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) $ converge puntalmente nell'intervallo $[0,+oo)$. La convergenza è anche uniforme nell'intervallo?
Per capire se la serie converge ho usato il criterio del confronto asintotico ed ho visto che questa serie converge in tutto $R$, quindi converge anche in $[0,+oo)$
Il problema è capire se converge anche uniformemente, per fare ciò pensavo di ricavarmi la convergenza totale, e se converge totalmente, allora converge anche uniformemente.
Per la convergenza totale ho provato a fare la derivata prima rispetto ad x e mi viene che n=0, quindi penso di non poter ricavare nulla con la derivata (o sbaglio?)
Quindi provo con la definizione che mi dice: Una serie converge totalmente se:
1)$abs(f_n(x))<=Mn$
2)$M_n<+oo$
Quindi devo trovare una serie $M_n$, convergente, che riesca a maggiorarmi la mia funzione...il problema è: come faccio a trovarla?
Grazie a tutti
Stabilire se la serie $sum_(n = 1)^(+oo)((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) $ converge puntalmente nell'intervallo $[0,+oo)$. La convergenza è anche uniforme nell'intervallo?
Per capire se la serie converge ho usato il criterio del confronto asintotico ed ho visto che questa serie converge in tutto $R$, quindi converge anche in $[0,+oo)$
Il problema è capire se converge anche uniformemente, per fare ciò pensavo di ricavarmi la convergenza totale, e se converge totalmente, allora converge anche uniformemente.
Per la convergenza totale ho provato a fare la derivata prima rispetto ad x e mi viene che n=0, quindi penso di non poter ricavare nulla con la derivata (o sbaglio?)
Quindi provo con la definizione che mi dice: Una serie converge totalmente se:
1)$abs(f_n(x))<=Mn$
2)$M_n<+oo$
Quindi devo trovare una serie $M_n$, convergente, che riesca a maggiorarmi la mia funzione...il problema è: come faccio a trovarla?
Grazie a tutti
Risposte
Se fai bene i conti vedi che $s u p{(sqrt(x^2+n)-x)/n^2:x in[0,+infty)}=1/n^(3/2)$
Ma quindi il sup si ha con il confronto asintotico?
Cioè io per fare il confronto asintotico di quella serie ho ipotizzato che all'infinito si comportava come $sum_(n=1)^(+oo)(sqrt(n)/n^2)$ e quindi come $sum_(n=1)^(+oo)(1/n^(3/2)) $ che è il termine di una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1
Cioè io per fare il confronto asintotico di quella serie ho ipotizzato che all'infinito si comportava come $sum_(n=1)^(+oo)(sqrt(n)/n^2)$ e quindi come $sum_(n=1)^(+oo)(1/n^(3/2)) $ che è il termine di una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1
La serie converge totalmente perché il la serie dei sup converge. No?
Ciao Silente91,
La serie proposta è a termini positivi, infatti si vede subito che si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} $
Posto $a_n(x) := (sqrt(x^2+n)-x)/n^2 = frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} $, la serie proposta soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy in quanto $lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0 $
Secondo me sì, perché facendo i calcoli mi risulta
$d/dx a_{n}(x) = frac{1}{n^2}(frac{x}{sqrt{x^2 + n}} - 1)$
e tale derivata è sempre negativa per $x \in [0, +\infty) $, per cui $a_n(x) $ ha un massimo in $x = 0 $ e si ha $a_n(0) = 1/n^{3/2} $, per cui il sup che ti ha correttamente scritto anto_zoolander è anche il $max $ di $a_n(x) $ e si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} \le sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2}$
... e pertanto la serie proposta è totalmente convergente e quindi uniformemente convergente.
La serie proposta è a termini positivi, infatti si vede subito che si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} $
Posto $a_n(x) := (sqrt(x^2+n)-x)/n^2 = frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} $, la serie proposta soddisfa la condizione necessaria di convergenza di Cauchy in quanto $lim_{n \to +\infty} a_n(x) = 0 $
"Silente91":
Per la convergenza totale ho provato a fare la derivata prima rispetto ad x e mi viene che n=0, quindi penso di non poter ricavare nulla con la derivata (o sbaglio?)
Secondo me sì, perché facendo i calcoli mi risulta
$d/dx a_{n}(x) = frac{1}{n^2}(frac{x}{sqrt{x^2 + n}} - 1)$
e tale derivata è sempre negativa per $x \in [0, +\infty) $, per cui $a_n(x) $ ha un massimo in $x = 0 $ e si ha $a_n(0) = 1/n^{3/2} $, per cui il sup che ti ha correttamente scritto anto_zoolander è anche il $max $ di $a_n(x) $ e si ha:
$ sum_{n = 1}^{+\infty}((sqrt(x^2+n)-x)/n^2) = sum_{n = 1}^{+\infty} frac{1}{n(sqrt(x^2+n)+x)} \le sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{3/2}$
"Silente91":
che è il termine di una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1
... e pertanto la serie proposta è totalmente convergente e quindi uniformemente convergente.
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