Convergenza Puntuale e Convergenza Uniforme

[martinmistere1]

Ciao a tutti.
Sto studiando le serie di fouier. Nello svolgere un esercizio mi imbatto in queste due convergenze come si calcolano?mi è parso di capire che dovrebbero aver a che fare con le condizioni di dirichlet ma sul testo da cui sto studiando cercando nell'indice analitico non le ho trovate.
Potreste gentilmente fornirmi qualche info (non presa da wiki) sulla risoluzione/individuazione di queste convergenze mediante le condizioni di dirichlet e qualche nota di teoria sulle condizioni di dirichlet stesso?

Grazie per l'aiuto

[gugo82]

Sui vecchi testi di Analisi Complessa c'è sempre qualcosa; potresti provare a spulciare un po' di libri.

Sulle condizioni di Dirichlet, vedi questo mio vecchio e sintetico post.

[martinmistere1]

sarebbero la a) e la b) del tuo post giusto?

per quanto riguarda le condizioni di convergenza non è che potresti linkarmi a qualcosa di sintetico?xkè sul mio testo "metodi matematici per l'ingegneria" non mi sembra ci sia...forse mi sbaglio...ma...

grazie cmq per la pronta risposta

[martinmistere1]

visto che ho ancora perplessità in merito potresti chiarirmi questi concetti:

se ho una funzione che è continua su tutto R allora essa è convergente uniformemente?

per verificare invece l'uniformità puntuale devo fare il limite dx e sx sulla discontinuità giusto?e il risultato è il valore a cui converge puntualmente la serie?

[gugo82]

"martinmistere":se ho una funzione che è continua su tutto R allora essa è convergente uniformemente?

E che significa?

"martinmistere":per verificare invece l'uniformità puntuale devo fare il limite dx e sx sulla discontinuità giusto?e il risultato è il valore a cui converge puntualmente la serie?

Uniformità puntuale???

[martinmistere1]

scusa volevo dire convergenza puntuale....

allora io non ho ben chiaro nella pratica come faccio a dire che una funzione converga uniformemente e quando puntualmente.

esempio:

$f(x)=\{(0 , ", tra " -5
in questa funzione io ho due discontinuità una in 0 e una in 5 giusto? quando vado a fare il limite destro e sinistro su queste due discontinuità mi trovo che viene 0.
come faccio a vedere se questa funzione converge uniformemente?

puoi riportarmi i conti/passaggi che fai te in modo chiaro così che anche un deficiente come me possa arrivarci?

grazie

[gugo82]

"martinmistere":allora io non ho ben chiaro nella pratica come faccio a dire che una funzione converga uniformemente e quando puntualmente.

Funzione uniformemente convergente?
E che vuol dire?

"martinmistere":esempio:

$f(x)=\{(0 , ", tra " -5
in questa funzione io ho due discontinuità una in $0$ e una in $5$ giusto? quando vado a fare il limite destro e sinistro su queste due discontinuità mi trovo che viene $0$.

Cosa "viene $0$"?
Sei sicuro? Fammi vedere che conti hai fatto.

"martinmistere":come faccio a vedere se questa funzione converge uniformemente?

puoi riportarmi i conti/passaggi che fai te in modo chiaro così che anche un deficiente come me possa arrivarci?

Guarda, non si tratta di essere intelligenti o deficienti; piuttosto la differenza si vede tra chi studia e chi no.
Mi vieni a dire tre volte "funzione convergente uniformemente", quindi non sembra che tu abbia chiare le nozioni di base di Analisi II; ma poi mi dici che il limite destro e sinistro della funzione che hai scritto valgono entrambi $0$, sicché sembra che nemmno il calcolo dei limiti sia cosa a te nota... Come è possibile spiegarti le serie di Fourier in queste condizioni?
E, anche se lo facessi, che senso avrebbe? A me non sembra che insegnarti un altro procedimento meccanico possa giovarti...
Fammi vedere ciò che sai (perchè mi pare molto strano che tu non maneggi bene nemmeno le nozioni di base), poi forse ti si potrà dare una mano.

[martinmistere1]

scusami erroneamente scrivo funzione ma intendo serie...errore mio.
per il resto i conti che ho fatto sono i seguneti:

$lim_(h->0^+)(f(x+h)-f(x))/h$

e il

$lim_(h->0-)(f(x+h)-f(x))/h$

dove nella prima vado valutare la $f(x)$ in $f(x^+)$ mentre nella seconda in $f(x^-)$

per cui valutando la discontinuità in 0 mi verrebbe:

$f(x^-)=0$ e$ f(x^+)=3$

per cui nei due limiti alla fine mi verrebbe $lim_(h->0)(3-3)/h$ e $lim_(h->0)(0-0)/h$. ripeto la stessa analisi per la discontinuità a 5.

io l'ho capito così. tu come ragioni?mi fai vedere il ragionamento che fai te per vedere la puntualità e la convergenza della serie?
nn voglio imparare nessun procedimento meccanico ma solo capire come ragioni e discuterne con te qualora la cosa nn mi convinca.
Grazie

[gugo82]

La funzione assegnata non è definita in tutto [tex]$[-5,5]$[/tex], ma non importa; per quel che serve, pongo [tex]$f(0)=3$[/tex] ed [tex]$f(\pm 5) =0$[/tex], così da avere una funzione continua da destra e definita ovunque in [tex]$[-5,5]$[/tex].
[asvg]xmin=-5;xmax=5; ymin=0;ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; dot([-5,0]); line([-5,0],[0,0]); dot([0,3]); line([0,3],[5,3]); dot([5,0]);[/asvg]
La funzione assegnata verifica le condizioni di Dirichlet in [tex]$[-5,5]$[/tex]: infatti essa è limitata e continua meno che in un numero finito di punti, e con derivata prima definita e continua meno che in un numero finito di punti, nei quali entrambe le funzioni hanno discontinuità di prima specie (in particolare, sia [tex]$f(x)$[/tex] sia [tex]$f^\prime (x)$[/tex] sono discontinue in [tex]$0,5$[/tex]).
Conseguentemente, comunque si fissi un compatto [tex]$X\subseteq [-5,5]$[/tex] che non contenga punti di discontinuità, la serie di Fourier di [tex]$f(x)$[/tex] converge uniformemente ad [tex]$f(x)$[/tex] in [tex]$X$[/tex].
La convergenza in tutto [tex]$[-5,5]$[/tex] (come in ogni compatto [tex]$X\subseteq [-5,5]$[/tex]) è però solo puntuale, giacché la serie di Fourier di [tex]$f(x)$[/tex] converge a:

[tex]$\tfrac{1}{2}[f(0^+)+f(0^-)]=\tfrac{3}{2} \neq f(0)$[/tex], [tex]$\tfrac{1}{2}[f(5^+)+f(5^-)]=\tfrac{3}{2} \neq f(5)$[/tex] ed [tex]$\tfrac{1}{2}[f(-5^+)+f(5^-)]=\tfrac{3}{2}\neq f(-5)$[/tex].

Per inciso, se non ho sbagliato i conti, la serie di Fourier di [tex]$f(x)$[/tex] è:

[tex]$\frac{3}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6}{\pi (2n-1)}\ \sin \left( \frac{\pi (2n-1)}{5} x\right)$[/tex]

e diagrammando il grafico della somma parziale d'indice [tex]$10$[/tex] si ottiene:
[asvg]xmin=-5;xmax=5;ymin=-1;ymax=4;
axes("","");
stroke="red"; dot([-5,0]); line([-5,0],[0,0]); dot([0,3]); line([0,3],[5,3]); dot([5,0]);
stroke="dodgerblue"; plot("1.5 + 1.91*sin(0.628*x)+0.637*sin(1.885*x)+0.382*sin(3.141*x)+0.273*sin(4.398*x)+0.212*sin(5.655*x)+0.174*sin(6.911*x)+0.147*sin(8.168*x)+0.127*sin(9.425*x)+0.112*sin(10.681*x)+0.1*sin(11.928*x)");[/asvg]
in cui si comincia a notare anche il cosiddetto fenomeno di Gibbs (questo Gibbs, non quello di N.C.I.S. ).


P.S.: Noto ora che le condizioni di Dirichlet su WIKIpedia (qui) differiscono un po' da quelle che ricordavo io. Tuttavia è evidente che la funzione assegnata soddisfa anche queste.
Vista questa difformità, consiglio a martinmistere di andare a chiedere lumi al docente.

[martinmistere1]

si noto che la fai completamente diversa da come ho trovato sugli appunti dei ragazzi che hanno semplicemente ricopiato un suo esempio(l'ho ritrovato uguale su diversi quaderni dei diversi anni del corso)... anche se cmq analizzi la puntualità sulla discontinuità come faccio anche io (unico punto in comune direi )

mercoledì ho ricevimento. le porto proprio questa funzione come l'ho svolta io e come l'hai svolta te e vedo lei come preferisce.

grazie per la pazienza.