Convergenza puntuale di una successione di funzioni
Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto per il seguente esercizio.
Dimostrare che la successione ${x^n}$ converge puntualmente in [0,1] alla funzione:
${(0,if 0<=x<1),(1,if x=1):}$
Bisogna quindi dimostrare che $AA x in[0,1],AAepsilon>0, EEnu>0:AAn>nu $ allora $|x^n-f(x)|
A questo punto sorgono i seguenti dubbi:
1)Sul libro da cui ho preso l'esercizio si ottiene $n>(log epsilon)/(log x)$. Se considero l'equazione associata $x^n=epsilon$ passando ai logaritmi si ha $nlogx=log epsilon$ e quindi $n=(log epsilon)/(log x)$. Ciò che mi interessa capire è perché nella disuguaglianza finale c'è il >.
2)Come faccio a scegliere $nu$ in modo che sia verificata la condizione?
volevo chiedere il vostro aiuto per il seguente esercizio.
Dimostrare che la successione ${x^n}$ converge puntualmente in [0,1] alla funzione:
${(0,if 0<=x<1),(1,if x=1):}$
Bisogna quindi dimostrare che $AA x in[0,1],AAepsilon>0, EEnu>0:AAn>nu $ allora $|x^n-f(x)|
A questo punto sorgono i seguenti dubbi:
1)Sul libro da cui ho preso l'esercizio si ottiene $n>(log epsilon)/(log x)$. Se considero l'equazione associata $x^n=epsilon$ passando ai logaritmi si ha $nlogx=log epsilon$ e quindi $n=(log epsilon)/(log x)$. Ciò che mi interessa capire è perché nella disuguaglianza finale c'è il >.
2)Come faccio a scegliere $nu$ in modo che sia verificata la condizione?
Risposte
1) Abbiamo $0
Risolvere $x^n < epsilon$ è equivalente a (passando ai logaritmi $log(x^n)
Ora dividiamo ambo i membri per $log(x)$.
Siccome è una quantità negativa, la disuguaglianza cambia verso: $n>(log(epsilon))/(log(x))$.
2) Se io ti dò un numero reale $r$ e ti chiedo di trovarmi un numero naturale $n$ maggiore di $r$ cosa fai?
Risolvere $x^n < epsilon$ è equivalente a (passando ai logaritmi $log(x^n)
Ora dividiamo ambo i membri per $log(x)$.
Siccome è una quantità negativa, la disuguaglianza cambia verso: $n>(log(epsilon))/(log(x))$.
2) Se io ti dò un numero reale $r$ e ti chiedo di trovarmi un numero naturale $n$ maggiore di $r$ cosa fai?
1) Capito.
2) considerando la parte intera di r (la indico con [r]) allora prendo [r]+1 intero maggiore di r. Giusto?
2) considerando la parte intera di r (la indico con [r]) allora prendo [r]+1 intero maggiore di r. Giusto?
Giusto
E per n>[r]+1 la successione converge puntualmente. Capito. Grazie
"Sirio1988":Questa frase non ha senso. Riflettici un po': si parla di convergenza puntuale a proposito di una successione di funzioni $(f_n)_(n in NN)$
E per n>[r]+1 la successione converge puntualmente.
In che senso? Intendevo dire che per che preso $nu=[r]+1$ per $n>nu$ è verificata la condizione affinché la successione considerata converga puntualmente ad f(x) in [0,1].
Abbiamo una successione di funzioni $(f_n)_(n in NN)$ con $f_n(x)= x^n$
Tutti i conti che abbiamo fatto servono per dimostrare che la successione $(f_n)$ converge puntualmente in $[0,1]$.
Come vedi non si parla di $n$. Se tu dici "per $n>[r]+1$ la successione converge puntualmente" non ha senso.
Tutti i conti che abbiamo fatto servono per dimostrare che la successione $(f_n)$ converge puntualmente in $[0,1]$.
Come vedi non si parla di $n$. Se tu dici "per $n>[r]+1$ la successione converge puntualmente" non ha senso.
Capito. Ok, grazie.
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