Convergenza puntuale di una successione
Vi chiedo un aiuto relativo alla successione
[tex]f_n (x) =(n^l x) / {1+n^2 x^4}[/tex] .l'esercizio mi chiede di "determinare l'insieme degli x t.c. la successione converga puntualmente". E' ovvio anche a voi che sia la convergenza puntuale che uniforme dipendano dal parametro l ? So che la domanda può sembrare stupida ma è un esercizio che mi lascia parecchi dubbi
[tex]f_n (x) =(n^l x) / {1+n^2 x^4}[/tex] .l'esercizio mi chiede di "determinare l'insieme degli x t.c. la successione converga puntualmente". E' ovvio anche a voi che sia la convergenza puntuale che uniforme dipendano dal parametro l ? So che la domanda può sembrare stupida ma è un esercizio che mi lascia parecchi dubbi
Risposte
[mod="dissonance"]C'erano due messaggi uguali, ne ho cancellato uno.[/mod]Sì, in questo caso la convergenza puntuale (e quindi anche quella uniforme) dipende da $l$.
"dissonance":
Sì, in questo caso la convergenza puntuale (e quindi anche quella uniforme) dipende da $l$.
Ti ringrazio! Quindi scusate se insisto ancora ma converge puntualmente per [tex]l < 2[/tex] giusto?. Non sono particolarmente ferrato su questa parte di teoria e sto andando un pò a naso...Comprendetemi ho un esame il 28 dicembre
Scusate sto sbagliando qualcosa ogni volta mi posta due messaggi uguali ero convinto di avere premuto "invia" una volta solo
Per $l<2$ la successione converge puntualmente alla funzione nulla.
Per $l=2$ converge alla funzione $f: RR\to RR$ definita da $f(0) = 0$, $f(x) = 1/x^3$ per $x\ne 0$.
Per $l>2$ converge solo per $x=0$.
Per $l=2$ converge alla funzione $f: RR\to RR$ definita da $f(0) = 0$, $f(x) = 1/x^3$ per $x\ne 0$.
Per $l>2$ converge solo per $x=0$.
Non è proprio così. Studiare la convergenza puntuale significa, concretamente, analizzare il limite
$lim_{n \to \infty} \frac{n^l x}{1+n^2x^4}$
considerando $x$ ed $l$ come parametri. Il caso più facile è per $x=0$: qui, qualunque sia $l$, il limite esiste e vale $0$. Supponiamo quindi $x!=0$. Conviene raccogliere la $n$ al denominatore, riscrivendo l'espressione da mandare al limite come
$lim_{n \to \infty} n^{l-2}\frac{x}{n^{-2}+x^4}$
Per $n\to \infty$, la frazione $\frac{x}{n^{-2}+x^4}$ tende a $x^{-3}$ (nota che questo ha senso perché $x!=0$). Invece $n^{l-2}\to {(0, l<2), (1, l=2), (+\infty, l>2):}$.
Resta da mettere insieme tutte queste informazioni.
Per $l<2$, $f_n(x)\to0$ per ogni $x\in RR$;
Per $l=2$, $f_n(x)\to{(x^{-3}, x!=0), (0, x=0):}$;
Per $l>2$, $f_n(x)\to0, x=0$, non converge per ogni altra $x$. (Per la precisione $f_n(x)\to{(+\infty, x>0), (-\infty, x<0):}$).
$lim_{n \to \infty} \frac{n^l x}{1+n^2x^4}$
considerando $x$ ed $l$ come parametri. Il caso più facile è per $x=0$: qui, qualunque sia $l$, il limite esiste e vale $0$. Supponiamo quindi $x!=0$. Conviene raccogliere la $n$ al denominatore, riscrivendo l'espressione da mandare al limite come
$lim_{n \to \infty} n^{l-2}\frac{x}{n^{-2}+x^4}$
Per $n\to \infty$, la frazione $\frac{x}{n^{-2}+x^4}$ tende a $x^{-3}$ (nota che questo ha senso perché $x!=0$). Invece $n^{l-2}\to {(0, l<2), (1, l=2), (+\infty, l>2):}$.
Resta da mettere insieme tutte queste informazioni.
Per $l<2$, $f_n(x)\to0$ per ogni $x\in RR$;
Per $l=2$, $f_n(x)\to{(x^{-3}, x!=0), (0, x=0):}$;
Per $l>2$, $f_n(x)\to0, x=0$, non converge per ogni altra $x$. (Per la precisione $f_n(x)\to{(+\infty, x>0), (-\infty, x<0):}$).
Ottima analisi! 
"dissonance":Nel caso non si capisse, questa frase è riferita al secondo post di andrewsi e non a quello di gac!
Non è proprio così
Grazie mille ero stato piuttosto grossolano però è quello che ho ottenuto anch'io...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo