Convergenza puntuale, convergenza uniforme e somma di una serie
Buonasera a tutti.
Ho provato a svolgere il seguente esercizio, ma non so se il procedimento e le conclusioni sono giuste. Potreste aiutarmi per favore?
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie nell'intervallo $[-1, +oo]$
$\sum_{n=1}^oo arctan[(x+1)^n/e^(nx)]$
Sia S(x) la sua somma, provare che
$S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1)$
$AAx$ che si trova nell'insieme in cui tale serie converge puntualmente.
Il mio svolgimento ( mi scuso se nel mio procedimento ci sono errori banali):
1) Convergenza puntuale:
$lim_(h->oo) {arctan[(x+1)^n/e^(nx)]}= pi/2$ in $[-1,+oo)$
Quindi la serie converge puntualmente a $pi/2$ in $[-1,+oo)$.
2) Converegenza uniforme:
per studiarla, ho calcolato la derivata delle succesione di funzioni e ho cercato i punti in cui si annulla. Facendo tutti i calcoli (se è necessario riportarli, li scrivo) si ha: $-x*n*(x+1)^(n-1)*e^(n*x)/[e^(2*n)+(x+1)^(2*n)]=0$
si annulla per $x=0$ e $x=-1$
il massimo è in $x=0$
quindi sostituisco il massimo nella successione di funzioni $ fn(x)$ e ottengo una nuova successione di funzioni $ fn(0)=gn(x)=arctan1=pi/4$ che in questo caso particolare è una costante $=>$ $gn(x)$ converge e va maggiorare $ fn(x)$, che a sua volta converge in $[-1,+oo)$. Concludendo la serie converge uniformemente in tale intervallo.
3) La somma.
Per quanto riguarda la somma, ho molte difficoltà, perchè non sono riuscita a trovare in nessun testo di teoria, nè di esercizi, come calcolare la somma di una serie così complessa. Qualcuno potrebbe fornirmi anche un aiuto teorico? Ne sarei molto grata.
Questa parte dell'esercizio, quindi non sono proprio riuscita a svolgerla.
Grazie in anticipo a tutti.
Ho provato a svolgere il seguente esercizio, ma non so se il procedimento e le conclusioni sono giuste. Potreste aiutarmi per favore?
Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie nell'intervallo $[-1, +oo]$
$\sum_{n=1}^oo arctan[(x+1)^n/e^(nx)]$
Sia S(x) la sua somma, provare che
$S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1)$
$AAx$ che si trova nell'insieme in cui tale serie converge puntualmente.
Il mio svolgimento ( mi scuso se nel mio procedimento ci sono errori banali):
1) Convergenza puntuale:
$lim_(h->oo) {arctan[(x+1)^n/e^(nx)]}= pi/2$ in $[-1,+oo)$
Quindi la serie converge puntualmente a $pi/2$ in $[-1,+oo)$.
2) Converegenza uniforme:
per studiarla, ho calcolato la derivata delle succesione di funzioni e ho cercato i punti in cui si annulla. Facendo tutti i calcoli (se è necessario riportarli, li scrivo) si ha: $-x*n*(x+1)^(n-1)*e^(n*x)/[e^(2*n)+(x+1)^(2*n)]=0$
si annulla per $x=0$ e $x=-1$
il massimo è in $x=0$
quindi sostituisco il massimo nella successione di funzioni $ fn(x)$ e ottengo una nuova successione di funzioni $ fn(0)=gn(x)=arctan1=pi/4$ che in questo caso particolare è una costante $=>$ $gn(x)$ converge e va maggiorare $ fn(x)$, che a sua volta converge in $[-1,+oo)$. Concludendo la serie converge uniformemente in tale intervallo.
3) La somma.
Per quanto riguarda la somma, ho molte difficoltà, perchè non sono riuscita a trovare in nessun testo di teoria, nè di esercizi, come calcolare la somma di una serie così complessa. Qualcuno potrebbe fornirmi anche un aiuto teorico? Ne sarei molto grata.
Questa parte dell'esercizio, quindi non sono proprio riuscita a svolgerla.
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Ciao chi8,
In realtà non mi pare che l'esercizio ti richieda di calcolarne la somma, ma solo di dimostrare che
$ S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1) $
Questo non è difficile, perché
$ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} arctan[(x+1)^n/e^(nx)] \le \sum_{n=1}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n = \sum_{n=0}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n - 1 = frac{1}{1 - frac{x + 1}{e^x}} - 1 = $
$ = frac{e^x}{e^x - x - 1} - 1 = frac{x + 1}{e^x - x - 1} $
In realtà non mi pare che l'esercizio ti richieda di calcolarne la somma, ma solo di dimostrare che
$ S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1) $
Questo non è difficile, perché
$ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} arctan[(x+1)^n/e^(nx)] \le \sum_{n=1}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n = \sum_{n=0}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n - 1 = frac{1}{1 - frac{x + 1}{e^x}} - 1 = $
$ = frac{e^x}{e^x - x - 1} - 1 = frac{x + 1}{e^x - x - 1} $
"pilloeffe":
Ciao chi8,
In realtà non mi pare che l'esercizio ti richieda di calcolarne la somma, ma solo di dimostrare che
$ S(x)<=(x+1)/(e^x-x-1) $
Questo non è difficile, perché
$ S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} arctan[(x+1)^n/e^(nx)] \le \sum_{n=1}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n = \sum_{n=0}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n - 1 = frac{1}{1 - frac{x + 1}{e^x}} - 1 = $
$ = frac{e^x}{e^x - x - 1} - 1 = frac{x + 1}{e^x - x - 1} $
Ti ringrazio molto per la spiegazione, è stata davvero utile per me perchè ho capito molto bene come andava svolta questa parte dell'esercizio.
Se non ti disturbo, posso chiederti se i primi due punti dell'esercizio li ho svolti bene? Grazie ancora e buona domenica.
"chi8":
Ti ringrazio molto per la spiegazione, è stata davvero utile per me perchè ho capito molto bene come andava svolta questa parte dell'esercizio.
Prego!
"chi8":
... i primi due punti dell'esercizio li ho svolti bene?
Temo di no: mi sa che hai confuso la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni con la convergenza puntuale ed uniforme di una serie di funzioni. Solo qualche indicazione...
L'intervallo proposto è $[-1, +\infty) $. Si vede subito che per $x = - 1 $ la serie proposta ha tutti i termini nulli e pertanto converge a $0$. Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy affinché la serie converga dev'essere
$ lim_{n \to +\infty} arctan[(x+1)^n/e^(nx)] = lim_{n \to +\infty} arctan[((x+1)/e^{x})^n] = 0 $
Perché ciò accada, è necessario che ciò che compare fra le parentesi tonde nell'argomento di $arctan $ sia un numero in valore assoluto minore di $1$:
$|frac{x + 1}{e^{x}}| < 1 $
che incidentalmente è anche la condizione per la quale si ha la convergenza assoluta della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n $ (criterio della radice) che ci garantisce la convergenza della serie proposta e per la quale è consentita la maggiorazione per $S(x) $ mostrata nel mio post precedente. Osservando che $|e^x| = e^x $, la condizione di cui sopra si riduce alla seguente:
$|x + 1| < e^x iff -e^x < x + 1 < e^x $
Se ora fai un grafico delle semplici funzioni $y = x + 1$, $y = e^x $ e $y = - e^x $, dovresti riuscire a renderti conto facilmente che le due disequazioni di cui sopra sono verificate $\AA x \in [- 1, +\infty) $ fatta eccezione per il "caso sfigato" in cui $x = 0 $, per il quale si vede chiaramente che la serie iniziale proposta diverge. Pertanto si conclude che la serie iniziale proposta converge puntualmente $\AA x \in I := [- 1,0) \cup (0, +\infty)$.
"pilloeffe":
[quote="chi8"]Ti ringrazio molto per la spiegazione, è stata davvero utile per me perchè ho capito molto bene come andava svolta questa parte dell'esercizio.
Prego!
"chi8":
... i primi due punti dell'esercizio li ho svolti bene?
Temo di no: mi sa che hai confuso la convergenza puntuale ed uniforme di una successione di funzioni con la convergenza puntuale ed uniforme di una serie di funzioni. Solo qualche indicazione...
L'intervallo proposto è $[-1, +\infty) $. Si vede subito che per $x = - 1 $ la serie proposta ha tutti i termini nulli e pertanto converge a $0$. Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy affinché la serie converga dev'essere
$ lim_{n \to +\infty} arctan[(x+1)^n/e^(nx)] = lim_{n \to +\infty} arctan[((x+1)/e^{x})^n] = 0 $
Perché ciò accada, è necessario che ciò che compare fra le parentesi tonde nell'argomento di $arctan $ sia un numero in valore assoluto minore di $1$:
$|frac{x + 1}{e^{x}}| < 1 $
che incidentalmente è anche la condizione per la quale si ha la convergenza assoluta della serie $\sum_{n=1}^{+\infty} [(x+1)/e^(x)]^n $ (criterio della radice) che ci garantisce la convergenza della serie proposta e per la quale è consentita la maggiorazione per $S(x) $ mostrata nel mio post precedente. Osservando che $|e^x| = e^x $, la condizione di cui sopra si riduce alla seguente:
$|x + 1| < e^x iff -e^x < x + 1 < e^x $
Se ora fai un grafico delle semplici funzioni $y = x + 1$, $y = e^x $ e $y = - e^x $, dovresti riuscire a renderti conto facilmente che le due disequazioni di cui sopra sono verificate $\AA x \in [- 1, +\infty) $ fatta eccezione per il "caso sfigato" in cui $x = 0 $, per il quale si vede chiaramente che la serie iniziale proposta diverge. Pertanto si conclude che la serie iniziale proposta converge puntualmente $\AA x \in I := [- 1,0) \cup (0, +\infty)$.[/quote]
Ti ringrazio tanto, ci ho messo un po' di tempo, ma ho capito bene e mi trovo! Il tuo aiuto è stato preziosissimo!
"chi8":
Ti ringrazio tanto, ci ho messo un po' di tempo, ma ho capito bene e mi trovo!
Prego!
Ti faccio una domanda io: perché nelle tue risposte citi sempre ciò che ti ho scritto? Appesantisci la lettura del thread e serve a poco: qualora per caso avessi commesso qualche errore, cosa che fra l'altro è già successa in altre occasioni, non sarebbe per me un problema chiedere scusa ed eventualmente correggere il post...
"chi8":
Il tuo aiuto è stato preziosissimo!
Beh, mi fa piacere esserti stato utile...
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