Convergenza puntuale

[rinale84]

Non ho ben capito come stabilire l'intervallo di convergenza di una serie per esempio

[tex]\sum_{n=1}^{infinito}\frac{log(1+nx)}{n^3x+n^2}[/tex]

Il libro dice che l'intervallo di convergenza è x>=0 ma ha senso il mio ragionamneto cioè:

[tex]1+nx>0\rightarrow x>\frac{-1}{n}[/tex]

per cui x>-1/n siccome n parte da 1 avrei x>-1 ma per x negative avrei una serie a termini negativi (a quanto ne so si possono fare solo quelle a termini positivi e alterni) per cui le x negative non le posso considerare e devo considerare solo le x>=0 ...

[dissonance]

Guarda, è tutto sbagliato. Vatti a rivedere la funzione logaritmo: quando è definita? Hai ragione a considerare la disuguaglianza $1+nx>0$, ma cosa succede quando essa non è verificata? Tu dici che la serie diventa a termini negativi, io rispondo che questo è un erroraccio e ti invito a rifletterci.

[rinale84]

La cosa che è sicura è che nella funzione logaritmo l'argomento dev'essere maggiore di 0 da cui la diseguaglianza 1+nx>0 adesso se essa non è verificata il logaritmo non ha senso...solo che ancora nn arrivo al motivo di x>=0

[dissonance]

Deve essere $x> -1/n$ e questo lo abbiamo capito. Ma $n$ deve assumere tutti i valori interi positivi, quindi $x$ deve essere maggiore o uguale di $-1/n$ per ogni $n$ intero positivo. Trai le opportune conclusioni.

[rinale84]

Ti ringrazio per l'aiuto ma ti sarei ancora più grato se potessi spiegarmi tutto il procedimento perchè ti giuro che mi sto trovando in difficoltà...tra l'altro non capisco il perchè dell' x>1/n

[dissonance]

"rinale84":tra l'altro non capisco il perchè dell' x>1/n

Ma se l'hai scritto tu stesso! Deve essere $x> -1/n$ perché l'argomento del logaritmo deve essere sempre positivo. Questo però deve essere verificato per ogni $n\inNN$, quindi si deve avere $x>="sup"{-1/n\ |\ n\in NN}$, e il sup a secondo membro è uguale a $0$. Rifletti su queste cose sennò non riuscirai mai a capire cosa viene dopo.

[rinale84]

mea culpa, mi era spuntato sulla pagina x>1/n, dopodichè ho pensato (cavolo! che c'entra?..., poi ricaricando la pagina tutto ok) per il resto ti ringrazio...quindi cosa importante studiare il dominio delle serie di funzioni e verificare che la condizione sia valida per qualunque n...Avrei dovuto scartare anche i valori per cui si annullava il denominatore ma visto che avevamo x>-1/n era come se l'avessimo già considerato...

[dissonance]

Si però non è finita. Adesso abbiamo posto la condizione $x>=0$ ma non abbiamo ancora mostrato che per ogni $x$ che la verifichi la serie converge.