Convergenza puntuale
Ciao 
Ho riletto a caso la definizione di convergenza puntuale, e mi è venuto un dubbio.
Prendiamo un intervallo $JsubseteqRR$ e $C(J)$ lo spazio metrico delle funzioni limitate da $J$ a valori in $RR$
Sul Marcellini-Sbordone-Fusco, come anche sul Pagani-Salsa, diremo che $f$ converge puntualmente in $J$ se
Non sarebbe più corretto dire che
Dove si pone $g(x)=l(x),forallx inJ$
La seconda sottolinea il fatto che fissato $x inJ$ esiste $linRR$ che dipende da $x$ che verifica la condizione di limite della successione $(f_n(x))_(n inNN)$.
Quale pensate sia più ‘formale’ delle due?
Magari le due risultano equivalenti se Considero $existsg inC(J):forallx inJexistsg(x)inRR:lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)$?
La prima secondo me non sottolinea la dipendenza del limite $l$ da $x$.
Ho riletto a caso la definizione di convergenza puntuale, e mi è venuto un dubbio.
Prendiamo un intervallo $JsubseteqRR$ e $C(J)$ lo spazio metrico delle funzioni limitate da $J$ a valori in $RR$
Sul Marcellini-Sbordone-Fusco, come anche sul Pagani-Salsa, diremo che $f$ converge puntualmente in $J$ se
$existsg inC(J):forallx inJ,lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)$
Non sarebbe più corretto dire che
$forallx inJexistsl(x)inRR:lim_(n->+infty)f_n(x)=l$
Dove si pone $g(x)=l(x),forallx inJ$
La seconda sottolinea il fatto che fissato $x inJ$ esiste $linRR$ che dipende da $x$ che verifica la condizione di limite della successione $(f_n(x))_(n inNN)$.
Quale pensate sia più ‘formale’ delle due?
Magari le due risultano equivalenti se Considero $existsg inC(J):forallx inJexistsg(x)inRR:lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)$?
La prima secondo me non sottolinea la dipendenza del limite $l$ da $x$.
Risposte
Aha, vero, l'OP dice "limitate", non continue; del resto, chi le vuole le funzioni che non sono continue?
Ciao kill
Mi riferisco alla prima. Il fatto che $forallx inJ,lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)$
Non va a sottolineare il fatto che il limite dipenda di fatto dal punto $x_0$.
Spesso trovo $forallx_0inJforallepsilon>0existsm_(epsilon,x_0)inNN ... $ecc
Io mi riferivo al $forallx_0inJexistsl_(x_0)inRR: forallepsilon>0existsm_(epsilon) inNN ...$ ecc
Non sono un esperto di logica matematica(purtroppo nella mia università non si fa granché), ma le cose mi sembrano diverse.
Mi riferisco alla prima. Il fatto che $forallx inJ,lim_(n->+infty)f_n(x)=g(x)$
Non va a sottolineare il fatto che il limite dipenda di fatto dal punto $x_0$.
Spesso trovo $forallx_0inJforallepsilon>0existsm_(epsilon,x_0)inNN ... $ecc
Io mi riferivo al $forallx_0inJexistsl_(x_0)inRR: forallepsilon>0existsm_(epsilon) inNN ...$ ecc
Non sono un esperto di logica matematica(purtroppo nella mia università non si fa granché), ma le cose mi sembrano diverse.
Non puoi cambiare come ti pare l'ordine di $\forall$ e $\exists$ quando le trovi insieme in una formula, una frase. Visto che ti piace l'algebra, rifletti su questa cosa:
$\forall x \in RR \exists y \in RR : x \cdot y=1$
$\exists y \in RR \forall x \in RR : x \cdot y=1$
Ti sembrano la stessa cosa?
La definizione del Pagani-Salsa e del Marcellini-Sbordone-Fusco è molto bella, elegante e formale, come piace a me. Seriamente: rifletti su questo esempio banale, dimmi la differenza e poi cosa ne pensi della questione iniziale di questo topic.
$\forall x \in RR \exists y \in RR : x \cdot y=1$
$\exists y \in RR \forall x \in RR : x \cdot y=1$
Ti sembrano la stessa cosa?
La definizione del Pagani-Salsa e del Marcellini-Sbordone-Fusco è molto bella, elegante e formale, come piace a me.
Seriamente: rifletti su questo esempio banale, dimmi la differenza e poi cosa ne pensi della questione iniziale di questo topic.
Non si può lasciare la matematica nelle mani dei dilettanti...
"Prendiamo un intervallo $JsubseteqRR$ e $C(J)$ lo spazio metrico delle funzioni limitate da $J$ a valori in $RR$"
non si parla di funzioni continue
Inoltre, prendiamo la successione $f_n(x) = \min \{ n, e^x \}$. Questa converge puntualmente all'esponenziale, come direbbero tutti i poveri cristi che non si fanno irretire da definizioni apparentemente "formali". Ma il limite non sta in $C(RR)$, contariamente alle $f_n$.
In realtà, avrei voluto scrivere $f_n(x_0) = \min \{ n, e^{x_0} \}$, che non cambia niente, ma non mi è sembrato il caso di creare il panico.
Accidenti, piove troppo, non posso andare nei campi a sparpagliar letame! Ma qualcos'altro da fare, per il maneggio o per i campi, c'è. Sempre.
"Prendiamo un intervallo $JsubseteqRR$ e $C(J)$ lo spazio metrico delle funzioni limitate da $J$ a valori in $RR$"
non si parla di funzioni continue
Inoltre, prendiamo la successione $f_n(x) = \min \{ n, e^x \}$. Questa converge puntualmente all'esponenziale, come direbbero tutti i poveri cristi che non si fanno irretire da definizioni apparentemente "formali". Ma il limite non sta in $C(RR)$, contariamente alle $f_n$.
In realtà, avrei voluto scrivere $f_n(x_0) = \min \{ n, e^{x_0} \}$, che non cambia niente, ma non mi è sembrato il caso di creare il panico.
Accidenti, piove troppo, non posso andare nei campi a sparpagliar letame! Ma qualcos'altro da fare, per il maneggio o per i campi, c'è. Sempre.
Bhé, dai, in effetti mi diletto... Ovvio, sto imparando ancora...
Ma la mia comunque era una constatazione dal punto di vista della logica.
Ma la mia comunque era una constatazione dal punto di vista della logica.
Non mi riferivo a nessuna delle due cose.
Forse ha proprio ragione dissonance, non sono capace a domandare!
Grazie lo stesso
Forse ha proprio ragione dissonance, non sono capace a domandare!
Grazie lo stesso
[size=85]Come ho già detto altrove, uso come nick nome e cognome, per cui applico un po' di autocensura e non do sfogo al turpiloquio di cui sento una fortissima esigenza.[/size]
anto_zoolander,
ti ricorderai vecchi commenti miei, e mi sa che anche dissonance avverta un senso di frustrazione davanti ai tuoi post.
Nel merito di questo post, TU hai scritto:
"Magari le due risultano equivalenti"
Beh, il mio esempietto scemo mostra che NON lo sono
E tu mi vieni a dire che non ho risposto al tuo post?
Perché non ho risposto alla tua domanda che chiedeva quale delle due definizioni è più "formale"?
Ma se non sono equivalenti, cosa ce ne frega di sapere quale è più formale dell'altra? Aggiungo che il mio commento irridente sulla "formalità" voleva sottolineare che importa dare definizioni corrette, e capire cosa si sta definendo, più che preoccuparsi delle formalità di rito.
(Aggiungo che dai l'impressione di non avere chiaro in testa che conoscere una funzione $f$ non vuol dire né di più né di meno che sapere "quanto fa" $f(x)$ per ogni $x$ del dominio)
Commento generale: fai meno cose, scrivi di meno, ma cura la precisione. Sei troppo lontano dal "minimo sindacale"! Suggerimento: visto che ritardare di 24 ore lo scrivere un post come questo che hai scritto, o altri, non mette a rischio l'esistenza della vita nell'Universo (osservazione che non vale solo per i tuoi post, e tra questi non solo i miei), quando lo hai scritto, guardalo in anteprima, stampa l'anteprima, leggila con attenzione, e rinvia al giorno dopo la pubblicazione del post
anto_zoolander,
ti ricorderai vecchi commenti miei, e mi sa che anche dissonance avverta un senso di frustrazione davanti ai tuoi post.
Nel merito di questo post, TU hai scritto:
"Magari le due risultano equivalenti"
Beh, il mio esempietto scemo mostra che NON lo sono
E tu mi vieni a dire che non ho risposto al tuo post?
Perché non ho risposto alla tua domanda che chiedeva quale delle due definizioni è più "formale"?
Ma se non sono equivalenti, cosa ce ne frega di sapere quale è più formale dell'altra? Aggiungo che il mio commento irridente sulla "formalità" voleva sottolineare che importa dare definizioni corrette, e capire cosa si sta definendo, più che preoccuparsi delle formalità di rito.
(Aggiungo che dai l'impressione di non avere chiaro in testa che conoscere una funzione $f$ non vuol dire né di più né di meno che sapere "quanto fa" $f(x)$ per ogni $x$ del dominio)
Commento generale: fai meno cose, scrivi di meno, ma cura la precisione. Sei troppo lontano dal "minimo sindacale"! Suggerimento: visto che ritardare di 24 ore lo scrivere un post come questo che hai scritto, o altri, non mette a rischio l'esistenza della vita nell'Universo (osservazione che non vale solo per i tuoi post, e tra questi non solo i miei), quando lo hai scritto, guardalo in anteprima, stampa l'anteprima, leggila con attenzione, e rinvia al giorno dopo la pubblicazione del post
La mia richiesta era una: capire se ci fosse differenza tra due delle tre scritture.
È arrivato un altro messaggio? mi dispiace.
Mi limiterò al rispondere
[size=85]non sto aprendo una polemica[/size]
È arrivato un altro messaggio? mi dispiace.
Mi limiterò al rispondere
[size=85]non sto aprendo una polemica[/size]
Mi domando come due definizioni di convergenza possano essere equivalenti se per la seconda si ha convergenza a $e^x$ mentre per la prima no. Il che mi induce a sospettare che, forse, sotto sotto, un pelino di differenza potrebbe esserci, chissà! Ma questa sottile e inconsueta argomentazione sembra non convincere.
Non capisco, spero non siano i primi (?) sintomi di demenza senile. Però, in un attimo di lucidità, mi sento di dire che la frase "La seconda sottolinea il fatto che" è una boiata pazzesca.
Nota: se ci si toglie dalla inutile camicia di forza che prevede di lavorare in $C(J)$ (ci sarà un motivo se nei libri citati si usa, non posso pensare che 5 stimati colleghi abbiano deciso di comune accordo di andar per farfalle) e si lavora in $F(J)$, l'insieme delle funzioni a valori reali definite su $J$, non c'è nessuna differenza tra:
visto che abbiamo graziosamente a nostra disposizione l'unicità del limite, essendo $J$ un intervallo (mi permetto di aggiungere: non degenere)
Nota: scrivere $exists l(x) inRR$ non fa compiere nessun miracolo. Si può scrivere $exists l inRR$
Nota: ovviamente, per passare dalla seconda alla prima basta definire (come suggerito nel post iniziale), dato $x in J$, $f(x) = l$
Non capisco, spero non siano i primi (?) sintomi di demenza senile. Però, in un attimo di lucidità, mi sento di dire che la frase "La seconda sottolinea il fatto che" è una boiata pazzesca.
Nota: se ci si toglie dalla inutile camicia di forza che prevede di lavorare in $C(J)$ (ci sarà un motivo se nei libri citati si usa, non posso pensare che 5 stimati colleghi abbiano deciso di comune accordo di andar per farfalle) e si lavora in $F(J)$, l'insieme delle funzioni a valori reali definite su $J$, non c'è nessuna differenza tra:
$exists f in F(J):forallx inJ,lim_(n->+infty)f_n(x)=f(x)$
$forallx inJexists linRR:lim_(n->+infty)f_n(x)=l$
visto che abbiamo graziosamente a nostra disposizione l'unicità del limite, essendo $J$ un intervallo (mi permetto di aggiungere: non degenere)
Nota: scrivere $exists l(x) inRR$ non fa compiere nessun miracolo. Si può scrivere $exists l inRR$
Nota: ovviamente, per passare dalla seconda alla prima basta definire (come suggerito nel post iniziale), dato $x in J$, $f(x) = l$
Perfetto, tutto qui.
La prossima volta farò più attenzione!
Il dubbio mi è sorto cercando di dimostrare che una successione di funzioni di Cauchy, convergesse.
La prossima volta farò più attenzione!
Il dubbio mi è sorto cercando di dimostrare che una successione di funzioni di Cauchy, convergesse.
"Fioravante Patrone":
Commento generale: fai meno cose, scrivi di meno, ma cura la precisione. Sei troppo lontano dal "minimo sindacale"! Suggerimento: visto che ritardare di 24 ore lo scrivere un post come questo che hai scritto, o altri, non mette a rischio l'esistenza della vita nell'Universo (osservazione che non vale solo per i tuoi post, e tra questi non solo i miei), quando lo hai scritto, guardalo in anteprima, stampa l'anteprima, leggila con attenzione, e rinvia al giorno dopo la pubblicazione del post
Vi ringrazio per avermi menzionato. Sono ovviamente d'accordo al 100% con Fioravante, che ho citato di recente in questo post:
viewtopic.php?p=8344656#p8344656
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