Convergenza puntuale

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo dimostrare che la funzione definita come $4n^2x$ per $0 <= x < 1/(2n)$, $4n - 4n^2x$ per $1/(2n) <= x < 1/(n)$ e $0$ per $1/(n) <= x <= 1$, converge puntualmente alla funzione $f(x) = 0$ in $0<=x<=1$.

Nel primo tratto, ho provato a fissare la $x$, e facendo tendere $n$ ad infinito, l'ampiezza di tale intervallo è infinitesima, ma in questo modo si ottiene una forma indeterminata $0*oo$. Sinceramente non so come risolvere ....

Grazie a tutti.

[gugo82]

Se \(x=0\), dato che ogni \(f_n(0)=0\), si ha \(\lim_n f_n(0)=0 =f(0)\), quindi non c'è problema.

Se, invece, \(0

[brownbetty1]

... per $n->+oo$ si ha $1/(n) <= x <= 1$, cioè funzione nulla ?!??!?

[gugo82]

Sì, ma dillo meglio... Per \(n\geq \nu\) (con \(\nu =\nu (x)=1/x\)) si ha \(1/n \[
\forall n\geq \nu,\ f_n(x)=0
\]
e perciò \(\lim_n f_n(x)=0=f(x)\).

[brownbetty1]

Allora, ok per il post-quindi. Però sarà la stanchezza, ma il fatto che $1/(n) -> 0$ non mi convince che

"gugo82":esiste sempre un $ν∈N$ tale che $1/n

[gugo82]

Definizione di limite con \(\varepsilon =x\).

[brownbetty1]

Ok ok, ho capito !!!

Ti ringrazio, gentilissimo.

Buona notte