Convergenza produttoria di seni

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inglele11

24 mar 2019, 10:13

Ciao a tutti,
in una dimostrazione ho trovato questa produttoria:
$ 2sin(pi/n)*2sin((2pi)/n)*...*2sin(((n-1)pi)/n)=prod_(k = 1)^(n-1)2sin((kpi)/n)=n $
L'autore cita solo il risultato senza darne la dimostrazione, volevo sapere da dove risulta questo fatto.
Qualcuno può aiutarmi? Grazie a tutti in anticipo

Risposte

Studente Anonimo

24 mar 2019, 11:16

Io comincerei col ricordare che \[ \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.\]
Inoltre non parlerei di "convergenza", la produttoria è finita.

otta96

24 mar 2019, 15:03

Hai provato a pensare ai seni come parti immaginarie (divise per $i$) di esponenziali complessi?

inglele11

24 mar 2019, 16:11

Si, in effetti è inappropriato parlare di "convergenza".
Si, le formule di eulero sono la prima cosa che mi è venuta in mente, ma i calcoli che ne risultano mi danno la sensazione di non essere nella strada giusta. (Riproverò a fare i calcoli)

Studente Anonimo

24 mar 2019, 18:36

Un hint: dopo un paio di manipolazioni dovresti ottenere che quella produttoria è uguale a \[ \prod_{k=1}^{n-1} (1 - e^{-2 \pi i k / n} ). \]Da qui si conclude facilmente: \[ z^n - 1 = (z-1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \dots+ 1) = (z-1 ) \prod_{k=1}^{n-1} (1 - e^{-2 \pi i k / n} ) \]per il teorema fondamentale dell'algebra - $1$ e $ e^{-2 \pi i k / n} $, $ 1 \le k \le n-1$, sono le $n$ radici dell'unità. Dividendo per $ z-1 $ gli ultimi due membri si ottiene \[ z^{n-1} + z^{n-2} + \dots+ 1 = \prod_{k=1}^{n-1} (1 - e^{-2 \pi i k / n} ) \]e se $ z =1 $...