Convergenza o divergenza integrale
$ int_(0)^(+oo ) ((cos x)/(x+1)) $ è convergente o divergente?
Risposte
Ciao,
studia l'integrale con la definizione:
$int_(0)^(+oo ) ((cos x)/(x+1)) dx =^(def) lim_{t->oo}int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) dx$ così diventa una funzione continua e limitata a [0,t]
calcoli l'integrale e poi studi il limite....
PS: non dovrebbero esserci altri problemi nella funzione, perciò la limitazione è quella...
studia l'integrale con la definizione:
$int_(0)^(+oo ) ((cos x)/(x+1)) dx =^(def) lim_{t->oo}int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) dx$ così diventa una funzione continua e limitata a [0,t]
calcoli l'integrale e poi studi il limite....
PS: non dovrebbero esserci altri problemi nella funzione, perciò la limitazione è quella...
ma come lo calcolo l'integrale??
non sn capace
non sn capace
vediamo un po', qua è un buon caso per utilizzare integrazione per parti.
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = int_(0)^(t) (cos x)*(log|x+1|)^{\prime} = (cos(x)*log(x+1))|_{0}^{t} + int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1)$
se noti ho tolto il valore assoluto nel logaritmo, questo perchè siamo in un intervallo $[0,t]$.
$int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1) = int_(0)^(t) (sen x)*(1/(x+1))^{\prime} = ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t} - int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1))$
se noti l'ultima parte è lo stesso integrale originale, per cui c'è un "circolo vizioso", togliamolo, ma prima riassumiamo cosa abbiamo trovato:
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = (cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t} - int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1))$
ora se noti ci sono due parti identiche, trattiamo l'integrale come un'equazione qualsiasi:
$2*int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = (cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t}$
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = 1/2*(cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + 1/2*((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t}$
a te concludere
EDIT: è sbagliato qui $int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1) = int_(0)^(t) (sen x)*(1/(x+1))^{\prime}$, non si deriva, ma integra. Sorry.
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = int_(0)^(t) (cos x)*(log|x+1|)^{\prime} = (cos(x)*log(x+1))|_{0}^{t} + int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1)$
se noti ho tolto il valore assoluto nel logaritmo, questo perchè siamo in un intervallo $[0,t]$.
$int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1) = int_(0)^(t) (sen x)*(1/(x+1))^{\prime} = ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t} - int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1))$
se noti l'ultima parte è lo stesso integrale originale, per cui c'è un "circolo vizioso", togliamolo, ma prima riassumiamo cosa abbiamo trovato:
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = (cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t} - int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1))$
ora se noti ci sono due parti identiche, trattiamo l'integrale come un'equazione qualsiasi:
$2*int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = (cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + ((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t}$
$int_(0)^(t) ((cos x)/(x+1)) = 1/2*(cos(x)*log(x+1))_{0}^{t} + 1/2*((sen(x))/(x+1))|_{0}^{t}$
a te concludere
EDIT: è sbagliato qui $int_(0)^(t) (sen x)*log(x+1) = int_(0)^(t) (sen x)*(1/(x+1))^{\prime}$, non si deriva, ma integra. Sorry.
$ int _(0) ^ (+oo) (cos x)/(x+1) $
$sen x * 1/(x+1) - int _(0)^(+oo) (sen x)/(x+1)^2 $
che è facile vedere che converge...va bene no??
xke con il tuo metodo non sapevo come trattare il cos t con $ t->+oo $
in particolare per il fatto che il log va a +oo, te sai come trattarlo?? sto parlando di $ log(x+1) * cos x $ con $ x->+oo$
$sen x * 1/(x+1) - int _(0)^(+oo) (sen x)/(x+1)^2 $
che è facile vedere che converge...va bene no??
xke con il tuo metodo non sapevo come trattare il cos t con $ t->+oo $
in particolare per il fatto che il log va a +oo, te sai come trattarlo?? sto parlando di $ log(x+1) * cos x $ con $ x->+oo$
@ham_burst: Hai sbagliato qualcosa integrando... Quell'integrale non si può esprimere utilizzando funzioni elementari!
uuh visto ora il brutto errore, ho derivato invece che integrare....per questo risulta.
Si dovrà utilizzare Taylor.
Si dovrà utilizzare Taylor.
@ham_burst: No, mi spiace, quell'integrazione lì non funziona proprio.
Quella adatta allo scopo è quella proposta da plutopuzza.
Quella adatta allo scopo è quella proposta da plutopuzza.
Penso che la domanda fosse : l'integrale converge o diverge, senza calcolarlo.
Chiaramente il punto $x=0 $ non dà problemi mentre va analizzata la funzione integranda nell'intorno di $ +oo $.
Per convergere il denominatore non dovrebbe tendere a 0 più rapidamente che non come $1/x $ ? che impatto ha il numeratore $ cos x $ sul comportamento della funzione all'$oo $ ?
Calcolando lintegrale ottengo comunque $sinx /(x+1) +intsinx dx/(x+1)^2$ e non col segno meno...
Chiaramente il punto $x=0 $ non dà problemi mentre va analizzata la funzione integranda nell'intorno di $ +oo $.
Per convergere il denominatore non dovrebbe tendere a 0 più rapidamente che non come $1/x $ ? che impatto ha il numeratore $ cos x $ sul comportamento della funzione all'$oo $ ?
Calcolando lintegrale ottengo comunque $sinx /(x+1) +intsinx dx/(x+1)^2$ e non col segno meno...
si intendevo prorpio questo, come il coseno influenza la convergenza....cmq è confermato che converge no?? il mio dubbio nasceva anche dal fatto che il mio prof affermava che la sinc (cioè $ (sen x)/x $) non apparteneva a L1... ma ora ho capito...L1 chiede la convergenza assoluta cioè in valore assoluto ed è facile dimostrare che la serie dei triangoli che 'stanno sotto' al sen divergono...grazie a tutti
Ripropongo il mio dubbio....
L'integrale improprio è convergente (come si può dimostrare, appunto, effettuando l'integrazione per parti in $[0,b]$ e mandando poi $b\to +\infty$).
La funzione, però, non è assolutamente integrabile (infatti non sta in $L^1$).
La funzione, però, non è assolutamente integrabile (infatti non sta in $L^1$).
Grazie Rigel per la conferma.
Mi ero impallato e continuavo a dubitare della convergenza dell'integrale ... quando, a parte svolgere i conti -bastava paragonarlo con quello ben noto $int_0^(+oo)( sinx/x) dx $ .
La similitudine tra i due è molto forte in quanto nell'intorno di $oo $ i due denominatori si comportano allo stesso modo e al numeratore $sin x $ e $cos x $ sono la stessa funzione semplicemnete sfasata di $ pi/2 $.
Le aree positive si compensano parzialmente con quelle negative o almeno quanto basta a far convergere gli integrali.
Considerando invece le funzioni integrande in valore assoluto le "compensazioni" svaniscono e gli integrali divergono, quindi $!in L^1 $.
Mi ero impallato e continuavo a dubitare della convergenza dell'integrale ... quando, a parte svolgere i conti -bastava paragonarlo con quello ben noto $int_0^(+oo)( sinx/x) dx $ .
La similitudine tra i due è molto forte in quanto nell'intorno di $oo $ i due denominatori si comportano allo stesso modo e al numeratore $sin x $ e $cos x $ sono la stessa funzione semplicemnete sfasata di $ pi/2 $.
Le aree positive si compensano parzialmente con quelle negative o almeno quanto basta a far convergere gli integrali.
Considerando invece le funzioni integrande in valore assoluto le "compensazioni" svaniscono e gli integrali divergono, quindi $!in L^1 $.
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