Convergenza integrali impropri
Ciao, ho una domanda:
Perchè questo integrale converge:
$\int_{0}^{3} (1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))dx$
mentre questo diverge:
$\int_{0}^{12} (1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))dx$
prendendo la funzione $f(x)=(1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))$ è $<=$ di $2/x^2$ quindi è divergente, ma questo risponde solo al secondo integrale, perchè il primo converge?
Un'altra cosa:
$\int_{-\infty}^{+\infty} (arctanx)/|x|^a $ calcolare la convergenza al variare del parametro a
innanzitutto considero il valore assoluto, quindi se x>0 allora considero: $\int_{-\infty}^{+\beta} (arctanx)/(-x)^a $ mentre se x<0 $\int_{-\beta}^{+\infty} (arctanx)/(-x)^a $ per il confronto asintotico abbiamo che $\int_{-\infty}^{+\beta} (arctanx)/(-x)^a $ sia simile a $\int_{-\infty}^{+\beta} 1/(-x)^(a-1)$ quindi per a-1>1 e dunque per a>2 l'integrale converge. Ma ora non capisco perchè sul libro c'è scritto che converge per a appartenente a (1,2)?
Perchè questo integrale converge:
$\int_{0}^{3} (1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))dx$
mentre questo diverge:
$\int_{0}^{12} (1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))dx$
prendendo la funzione $f(x)=(1-cosx)/(x^2sin(sqrt(x)))$ è $<=$ di $2/x^2$ quindi è divergente, ma questo risponde solo al secondo integrale, perchè il primo converge?
Un'altra cosa:
$\int_{-\infty}^{+\infty} (arctanx)/|x|^a $ calcolare la convergenza al variare del parametro a
innanzitutto considero il valore assoluto, quindi se x>0 allora considero: $\int_{-\infty}^{+\beta} (arctanx)/(-x)^a $ mentre se x<0 $\int_{-\beta}^{+\infty} (arctanx)/(-x)^a $ per il confronto asintotico abbiamo che $\int_{-\infty}^{+\beta} (arctanx)/(-x)^a $ sia simile a $\int_{-\infty}^{+\beta} 1/(-x)^(a-1)$ quindi per a-1>1 e dunque per a>2 l'integrale converge. Ma ora non capisco perchè sul libro c'è scritto che converge per a appartenente a (1,2)?
Risposte
credo di aver capito per i primi due integrali. Il discorso è corretto per il secondo integrale dato che $13>\pi$ e quindi il numeratore può assumere il valore massimo 2. Ma per la convergenza del primo come si fa?
Per l'ultimo integrale vedi che hai una funzione dispari. Quanto meno ti consente di considerare solo una parte.
Poi c'è come al solito il problema della divergenza della funzione integranda, e anche nel caso della convergenza a zero, il problema se esiste il limite.
Concentrati inizialmente sull'intervallo $[1,+oo)$, vedi allora che se $a$ fosse minore uguale di $1$ la serie i cui termini sono quelli che ottieni sostituendo a $x$ $n$ non converge, e quindi nemmeno l'integrale etc etc
Mi ero confuso, sarà l'ora tarda, ma devi maggiorare quando vuoi dimostrarne la convergenza, non la divergenza, tieni presente che nel secondo integrale c'è un punto in cui la funzione non è definita e tende a meno infinito da una parte e più infinito dall'altra.
La funzione giusta con cui devi maggiorare la funzione integranda del primo integrale almeno in un opportuno intorno di zero è $1/sqrt(x)$ allora si che puoi dire che converge. LA seconda divergerà proprio perchè c'è quel punto di cui ti ho parlato prima, ma va verificato. ciao
Poi c'è come al solito il problema della divergenza della funzione integranda, e anche nel caso della convergenza a zero, il problema se esiste il limite.
Concentrati inizialmente sull'intervallo $[1,+oo)$, vedi allora che se $a$ fosse minore uguale di $1$ la serie i cui termini sono quelli che ottieni sostituendo a $x$ $n$ non converge, e quindi nemmeno l'integrale etc etc
Mi ero confuso, sarà l'ora tarda, ma devi maggiorare quando vuoi dimostrarne la convergenza, non la divergenza, tieni presente che nel secondo integrale c'è un punto in cui la funzione non è definita e tende a meno infinito da una parte e più infinito dall'altra.
La funzione giusta con cui devi maggiorare la funzione integranda del primo integrale almeno in un opportuno intorno di zero è $1/sqrt(x)$ allora si che puoi dire che converge. LA seconda divergerà proprio perchè c'è quel punto di cui ti ho parlato prima, ma va verificato. ciao
"regim":
Perchè il primo integrale deve convergere se puoi maggiorare la funzione integranda come nel secondo integrale? Comunque nel secondo integrale la funzione integranda ha anche un punto compreso nell'intervallo di integrazione, in cui non è definita, e il limite è da una parte $+oo$ e dall'altra $-oo$.
Per l'ultimo integrale vedi che hai una funzione dispari. Quanto meno ti consente di considerare solo una parte.
Poi c'è come al solito il problema della divergenza della funzione integranda, e anche nel caso della convergenza a zero, il problema se esiste il limite.
Concentrati inizialmente sull'intervallo $[1,+oo)$, vedi allora che se $a$ fosse minore uguale di $1$ la serie i cui termini sono quelli che ottieni sostituendo a $x$ $n$ non converge, e quindi nemmeno l'integrale etc etc
Non ho idea, sul libro c'è scritto che converge, mentre l'altra diverge....
Non ho capito perchè il fatto che sia dispari mi permette di considerare solo una parte
comunque non avevo fatto caso al fatto che in 0 non fosse definita. Ciò significa che l'integrale considerando solo una parte si divida in due integrali uno definito fra 0 e beta e l'altro fra beta e +infinito.
Nel primo caso a me viene sempre che a<2 mentre nel secondo mi viene che a>2, perchè? dove sbaglio?
Ho sbagliato io, mi sono corretto. Se vuoi dimostrare la convergenza devi maggiorare non il contrario.
La funzione dispari ti permette di considerare solo una parte, perchè hai, a parte il segno, la stessa funzione che nell'altra parte.
L'altra limitazione viene fuori dallo studio intorno a zero, perche in $[1,+oo)$ tutto è regolare con $a>1$. Ma sinceramente a quest'ora sbaglio anche a fare 2+2
La funzione dispari ti permette di considerare solo una parte, perchè hai, a parte il segno, la stessa funzione che nell'altra parte.
L'altra limitazione viene fuori dallo studio intorno a zero, perche in $[1,+oo)$ tutto è regolare con $a>1$. Ma sinceramente a quest'ora sbaglio anche a fare 2+2
"regim":
Ho sbagliato io, mi sono corretto. Se vuoi dimostrare la convergenza devi maggiorare non il contrario.
La funzione dispari ti permette di considerare solo una parte, perchè hai, a parte il segno, la stessa funzione che nell'altra parte.
L'altra limitazione viene fuori dallo studio intorno a zero, perche in $[1,+oo)$ tutto è regolare con $a>1$. Ma sinceramente a quest'ora sbaglio anche a fare 2+2
Hai ragione, più che altro usare il confronto in quel caso da rogne. Meglio approssimare la funzione usando gli sviluippi di taylor:
ossia: $ f(x)=(1-cosx)/x^2sin(sqrt(x))$ si approssima a $1/(sqrt(x))$ e quindi converge. Ma non capisco perchè per l'integrale da 0 a 13 diverga.
Comunque scusa se insisto, ma non capisco, perchè fra $[1,+oo)$ a è >1?
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