Convergenza Integrali impropri
Sto cercando di risolvere degli integrali impropri, devo trovare se l'integrale converge oppure diverge (senza bisogno di calcolare quanto vale l'integrale). Sto provando a svolgere questo:
\(\ \int_{-1}^1 \frac{e^x}{x+1}\)
Ho pensato che quell'integrale è asintoticamente equivalente a \(\ e^x/x \), poi per trovare la convergenza basta fare il limite che tende all'infinito, ovvero \(\ e^\infty/ \infty \) che è uguale a infinito, dunque l'integrale diverge. E' giusto il ragionamento oppure ho scritto cose senza senso?
\(\ \int_{-1}^1 \frac{e^x}{x+1}\)
Ho pensato che quell'integrale è asintoticamente equivalente a \(\ e^x/x \), poi per trovare la convergenza basta fare il limite che tende all'infinito, ovvero \(\ e^\infty/ \infty \) che è uguale a infinito, dunque l'integrale diverge. E' giusto il ragionamento oppure ho scritto cose senza senso?
Risposte
comincio a pensare che questi benedetti criteri di integrabilità siano stati eliminati dai programmi di analisi
il fatto che a $-1$ la funzione tenda a $infty$ di per sè non sarebbe una condizione sufficiente per la divergenza
stavolta ti va bene perchè l'integrale effettivamente diverge in quanto la funzione è un infinito di ordine $1$
il fatto che a $-1$ la funzione tenda a $infty$ di per sè non sarebbe una condizione sufficiente per la divergenza
stavolta ti va bene perchè l'integrale effettivamente diverge in quanto la funzione è un infinito di ordine $1$
"Riky1993":
Ho pensato che quell'integrale è asintoticamente equivalente a ex/x, poi per trovare la convergenza basta fare il limite che tende all'infinito, ovvero e∞/∞ che è uguale a infinito, dunque l'integrale diverge. E' giusto il ragionamento oppure ho scritto cose senza senso?
No non centra nulla perché stiamo studiando la convergenza dell'integrale in $(-1,1]$ e non in $[a,+\infty)$ (con $a>0$) in quel caso con opportune ipotesi sulla funzione integranda vale il tuo ragionamento ovvero necessariamente $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$ affinché $\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$ converga.
Tuttavia questo non è il nostro caso, infatti l'intervallo è limitato ma la funzione in esso non è limitata, come si fa?
Criterio asintotico (per intervalli limitati). Sia $f: (a,b] \rightarrow RR$ e $f \in R([c,b])$ cioè Riemann integrabile in $[c,b]$, $c \in (a,b)$, allora
1) Se $EE \alpha <1$ t.c. $\lim_{x \rightarrow a^{+}}(x-a)^{\alpha}f(x)=l \in RR \Rightarrow$ l'integrale $\int_{a}^{b}|f(x)|dx$ converge
2) Se $EE \alpha \geq 1$ t.c. $\lim_{x \rightarrow a^{+}}(x-a)^{\alpha}f(x)=l \in \bar(RR)-{0} \Rightarrow$ l'integrale $\int_{a}^{b}f(x)dx$ diverge
In sostanza nel nostro caso abbiamo che $f(x)~\frac{1}{x+1}$ che sappiamo non essere integrabile secondo Riemann in senso generalizzato in alcun intorno di $-1$
Ahh hai ragione ora ho capito.. grazie mille! Ora ho un altro problema con le serie però... Devo stabilire la convergenza assoluta, l'esercizio l'ha svolto il prof, ma non capisco cosa faccia:
\(\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{100 \cos n \pi}{2n + 3} \)
Il prof scrive questo:
\(\ 100 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 3} \)
\(\ \frac{1}{2n + 3} \sim \frac{1}{n} \)
e di conseguenza la serie converge semplicemente. Ma non capisco il primo passaggio da dove è uscito?? Perché mette quel (-1)^n??
\(\ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{100 \cos n \pi}{2n + 3} \)
Il prof scrive questo:
\(\ 100 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 3} \)
\(\ \frac{1}{2n + 3} \sim \frac{1}{n} \)
e di conseguenza la serie converge semplicemente. Ma non capisco il primo passaggio da dove è uscito?? Perché mette quel (-1)^n??
$\cos(n\pi)={(1\ se\ n\ è\ pari),(-1\ se\ n\ è\ dispari):}$
Guarda caso come $(-1)^n$
Guarda caso come $(-1)^n$
AH. Non mi era proprio venuto in mente... Altro esercizio... Sapresti dirmi se l'ho svolto bene? Devo determinare per quali valori di x la serie converge assolutamente o solo semplicemente:
\(\ \sum_{n = 2}^\infty \frac{x^n}{2^n logn} \)
Ho utilizzato per prima cosa il criterio del rapporto, trovando questo:
\(\ \sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{2^n 2 log(n+1)} * 2^n logn = \frac{1}{2} \)
Dunque la serie converge assolutamente per \(\ -2 < x < 2 \), diverge sia per \(\ x = 2 \) che per \(\ x = - 2 \)
E' esatto?
\(\ \sum_{n = 2}^\infty \frac{x^n}{2^n logn} \)
Ho utilizzato per prima cosa il criterio del rapporto, trovando questo:
\(\ \sum_{n = 2}^\infty \frac{1}{2^n 2 log(n+1)} * 2^n logn = \frac{1}{2} \)
Dunque la serie converge assolutamente per \(\ -2 < x < 2 \), diverge sia per \(\ x = 2 \) che per \(\ x = - 2 \)
E' esatto?
Si è corretto solo che hai messo una sommatoria al posto del limite 
Ah si hai ragione xD grazie dell'aiuto!
Ho un problema con le serie di potenze, il professore in alcuni esami ha messo questi esercizi:
Sviluppare \(\ logx \) in serie di potenze di \(\ x - 3 \),
Sviluppare \(\ 1/(2-x) \) e \(\ 1/(1+2x) \) in serie di potenze di x e \(\ 1/x \) in serie di potenze di \(\ x - 1 \).
Ho provato a cercare sul libro ma non ho trovato niente, come bisogna procedere??
Sviluppare \(\ logx \) in serie di potenze di \(\ x - 3 \),
Sviluppare \(\ 1/(2-x) \) e \(\ 1/(1+2x) \) in serie di potenze di x e \(\ 1/x \) in serie di potenze di \(\ x - 1 \).
Ho provato a cercare sul libro ma non ho trovato niente, come bisogna procedere??
Continuo a trovare problemi su questi maledetti integrali impropri... Ora sono proprio nel caso che mi aveva scritto dan95, ovvero \(\ [a,+∞) \) :
\(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{x(arctanx)^2}{x^3 + logx} dx \) (come faccio a scrivere la frazione più grande?)
Io metterei semplicemente con il criterio del confronto che tutta quella roba lì è \(\ <= x/x^3 \) ovvero \(\ <= 1/x^2 \) e quindi diverge. Però l'ho fatto praticamente a caso senza sapere se è giusto, certe volte lo azzecco e altre volte no... Devo fare qualcosa di specifico nei punti \(\ 1 \) e \(\ +∞ \) ?
\(\ \int_{1}^{+\infty} \frac{x(arctanx)^2}{x^3 + logx} dx \) (come faccio a scrivere la frazione più grande?)
Io metterei semplicemente con il criterio del confronto che tutta quella roba lì è \(\ <= x/x^3 \) ovvero \(\ <= 1/x^2 \) e quindi diverge. Però l'ho fatto praticamente a caso senza sapere se è giusto, certe volte lo azzecco e altre volte no... Devo fare qualcosa di specifico nei punti \(\ 1 \) e \(\ +∞ \) ?
"Riky1993":
Ora sono proprio nel caso che mi aveva scritto dan95, ovvero $[a,+∞)$ :
No noi abbiamo visto il caso in cui gli intervalli erano limitati.
In questo caso vale un altro criterio simile
Criterio asintotico (per intervalli illimitati). Sia $ f: [a,+\infty)\rightarrow RR $ e $ f \in R([a,b]) $ cioè Riemann integrabile in $ [a,b] $, $ b \in (a,+\infty) $, allora[/quote]
1) Se $ EE \alpha >1 $ t.c. $ \lim_{x \rightarrow +\infty}x^{\alpha}f(x)=l \in RR \Rightarrow $ l'integrale $ \int_{a}^{+\infty}|f(x)|dx $ converge
2) Se $ EE \alpha \leq 1 $ t.c. $ \lim_{x \rightarrow +\infty}x^{\alpha}f(x)=l \in \bar(RR)-{0} \Rightarrow $ l'integrale $ \int_{a}^{+\infty}f(x)dx $ diverge
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