Convergenza Integrali Impropri
Salve a tutti,
ho qualche difficoltà con gli integrali impropri e lo studio della loro convergenza. Ho paura di seguire un procedimento sbagliato.
Ad esempio:
$ int_(2)^(+oo)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3) dx $
ho pensato di risolvere questo esercizio tentando di calcolare il valore della funzione agli estremi.
$ lim_(x -> +oo)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3) $ è piuttosto semplice, poiché il numeratore è limitato e il denominatore invece tende a $ +oo $, perciò il valore del limite dovrebbe essere $ 0 $.
Invece $ lim_(x -> +2)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3)=(cos2+sin16)/13 $
Mi chiedo allora: il valore dell'integrale indefinito è forse dato da $ -(cos2+sin16)/13 $? O conosco soltanto un'informazione sulla convergenza di questo integrale, dal momento che il suo limite a infinito tende a $ 0 $? Oppure sto sbagliando tutto e mi tocca ricominciare?
Grazie per l'aiuto, Frink
ho qualche difficoltà con gli integrali impropri e lo studio della loro convergenza. Ho paura di seguire un procedimento sbagliato.
Ad esempio:
$ int_(2)^(+oo)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3) dx $
ho pensato di risolvere questo esercizio tentando di calcolare il valore della funzione agli estremi.
$ lim_(x -> +oo)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3) $ è piuttosto semplice, poiché il numeratore è limitato e il denominatore invece tende a $ +oo $, perciò il valore del limite dovrebbe essere $ 0 $.
Invece $ lim_(x -> +2)(cos(x)+sin(x^4))/ (5+x^3)=(cos2+sin16)/13 $
Mi chiedo allora: il valore dell'integrale indefinito è forse dato da $ -(cos2+sin16)/13 $? O conosco soltanto un'informazione sulla convergenza di questo integrale, dal momento che il suo limite a infinito tende a $ 0 $? Oppure sto sbagliando tutto e mi tocca ricominciare?
Grazie per l'aiuto, Frink
Risposte
"Frink":
Mi chiedo allora: il valore dell'integrale indefinito è forse dato da −cos2+sin1613?
assolutamente no
"Frink":
O conosco soltanto un'informazione sulla convergenza di questo integrale, dal momento che il suo limite a infinito tende a 0?
in generale,il fatto che l'integrando sia un infinitesimo per $x rarr infty$ non è una condizione sufficiente per la convergenza dell'integrale: una condizione sufficiente è che sia un infinitesimo di ordine maggiore di 1
nel tuo caso lo è
Ma quindi con il limite ho informazioni sufficienti a patto che sia un infinitesimo di ordine maggiore di 1? E se fosse di ordine minore? E se invece tendesse a infinito, dovrei cercare un confronto, es. con $ 1/x^a $ o posso liberamente dire che diverge?
Un'altro esempio, forse persin più semplice:
$ int_(0)^(+oo) x/(1+x^2) dx $
I limiti agli estremi sono semplicissimi, e valgono entrambi $ 0 $, ma questo non significa che l'integrale converga, corretto? Ovvero, risolvendolo ottengo che $ G(x)=1/2log(1+x^2) $ , la cui area sottesa di certo non è limitata, avendo il limite per $ x -> +oo $ che vale $ +oo $...
Un'altro esempio, forse persin più semplice:
$ int_(0)^(+oo) x/(1+x^2) dx $
I limiti agli estremi sono semplicissimi, e valgono entrambi $ 0 $, ma questo non significa che l'integrale converga, corretto? Ovvero, risolvendolo ottengo che $ G(x)=1/2log(1+x^2) $ , la cui area sottesa di certo non è limitata, avendo il limite per $ x -> +oo $ che vale $ +oo $...
infatti nell'esempio da te fatto l'integrando è un infinitesimo di ordine 1(non maggiore di 1)
poi,è chiaro che se la funzione non è neanche infinitesima o infinitesima di ordine minore di 1,l'integrale diverge
poi,è chiaro che se la funzione non è neanche infinitesima o infinitesima di ordine minore di 1,l'integrale diverge
Ok, grazie mille! Mi è chiaro nel caso in cui il limite dell'integranda sia un $ l in RR $ ma se fosse un $ +oo $ ad esempio, ci sono possibilità che converga oppure no?
a maggior ragione l'integrale diverge se l'integrando è un infinito per $x rarr infty$
Mentre nulla centra il fatto che il limite dell'integrando per $ x->0 $ sia $ +oo $ ad esempio, giusto? Ci sono esempi di funzioni convergenti con questo valore se non erro...
fino ad ora ci siamo interessati del comportamento all'infinito
invece,supponiamo di avere una funzione definita in $[a,b]$
l'integrale diverge solo nel caso in cui in almeno uno dei due estremi l'integrando sia un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1
es:
$ int_(0)^(1) 1/(sqrtx) dx $ converge
$ int_(0)^(1)1/ x^2 dx $ diverge
invece,supponiamo di avere una funzione definita in $[a,b]$
l'integrale diverge solo nel caso in cui in almeno uno dei due estremi l'integrando sia un infinito di ordine maggiore o uguale ad 1
es:
$ int_(0)^(1) 1/(sqrtx) dx $ converge
$ int_(0)^(1)1/ x^2 dx $ diverge
Ok, grazie mille, sei stato chiarissimo! Un'ultima domanda, forse un po' pedante: esiste un motivo tangibile per cui sia necessario un'ordine di infinito superiore al primo? Una dimostrazione o una visualizzazione grafica per la cosa?
In ogni caso grazie mille!
In ogni caso grazie mille!
sì,ovviamente c'è una dimostrazione
penso che si trovi su qualsiasi testo di analisi che tratti questo argomento
saluti
penso che si trovi su qualsiasi testo di analisi che tratti questo argomento
saluti
Forse la notazione O grande può dar risposta alla tua ultima domanda, comunque non ne so quasi nulla di quanto avete detto, ho solo sentito parlare della notazione. Si utilizza ad esempio per la complessità computazionale, sopratutto in informatica e pare sia un confronto tra gli ordini di infiniti.
Torno sull'argomento, ora cho ho trovato dimostrazioni e mi son schiarito le idee.
Ho ancora un dubbio sul seguente integrale improprio
$ int_(2pi)^(+oo) |sin(x)|/x dx $
Il limite $ lim_(x -> +oo) |sin(x)|/x=0 $, ma l'integrale non converge perché posso dire che $ |sin(x)|/x <= 1/x AA x in [2pi,+oo) $.
Sono riuscito a maggiorarlo, ma questo non mi garantisce la divergenza. Posso dire che $ |sin(x)|/x $ è asintotico a $ 1/x $? Se sì, il problema è risolto, perché l'ordine di infinitesimo di $ 1/x $ è pari a 1 e quindi divergente. Se no?
Ho ancora un dubbio sul seguente integrale improprio
$ int_(2pi)^(+oo) |sin(x)|/x dx $
Il limite $ lim_(x -> +oo) |sin(x)|/x=0 $, ma l'integrale non converge perché posso dire che $ |sin(x)|/x <= 1/x AA x in [2pi,+oo) $.
Sono riuscito a maggiorarlo, ma questo non mi garantisce la divergenza. Posso dire che $ |sin(x)|/x $ è asintotico a $ 1/x $? Se sì, il problema è risolto, perché l'ordine di infinitesimo di $ 1/x $ è pari a 1 e quindi divergente. Se no?
Qui non puoi usare le tecniche standard, perché la funzione integranda non ha un ordine di infinitesimo. ("Posso dire che \(\lvert \sin x\rvert /x\) è asintotico a \(1/x\)?" rivedi la definizione di equivalenza asintotica se hai di questi dubbi). L'integrale non converge ma ti devi scervellare un po' e trovare un modo per dimostrarlo. Ragiona graficamente, cerca di confrontare l' integrale con una serie.
Dopo aver risolto quello sopra, torno alla carica:
$ int_(0)^(+oo) dx /|x^2-x-log(x)| $
Per il limite ad infinito non c'è problema, tende a 0, così come quello a 0. Devo però analizzare i punti di discontinuità, in 1 e nell'altro asintoto verticale. Scrivendo
$ lim_(x -> 1) 1/|x^2-x-logx| $
poi non capisco come procedere. Non so se cercare un grado di infinito, e se sì, quale... Non riesco a trovare asintotici per semplificare l'espressione (e tra l'altro siamo in una somma)... Idee?
$ int_(0)^(+oo) dx /|x^2-x-log(x)| $
Per il limite ad infinito non c'è problema, tende a 0, così come quello a 0. Devo però analizzare i punti di discontinuità, in 1 e nell'altro asintoto verticale. Scrivendo
$ lim_(x -> 1) 1/|x^2-x-logx| $
poi non capisco come procedere. Non so se cercare un grado di infinito, e se sì, quale... Non riesco a trovare asintotici per semplificare l'espressione (e tra l'altro siamo in una somma)... Idee?
Mi è venuta un'idea, ma il problema è la somma, come accennato prima. Ha senso o è tutto campato in aria?
$ lim_(x -> 1) 1/|x(x-1)-logx|=lim_(x->0)1/|(x+1)(x+1-1)-log(1+x)|=lim_(x->0)1/|x(x+1)-x|=lim_(x->0)1/|x(x+1-1)|=lim_(x->0)1/|x^2|=+oo $
e quindi diverge perché grado di infinito maggiore di 2.
$ lim_(x -> 1) 1/|x(x-1)-logx|=lim_(x->0)1/|(x+1)(x+1-1)-log(1+x)|=lim_(x->0)1/|x(x+1)-x|=lim_(x->0)1/|x(x+1-1)|=lim_(x->0)1/|x^2|=+oo $
e quindi diverge perché grado di infinito maggiore di 2.
"Frink":
Ha senso o è tutto campato in aria?
la seconda che hai detto
poniamo
$f(x)=1/(x^2-x-lnx)$,
$g(x)=1/(x-1)$
$g(x)$ è un infinito di ordine $1$ per $x rarr 1$
con la regola di De L'Hopital si verifica che
$ lim_(x -> 1)f(x)/g(x)=infty $
$f(x)$ è un infinito di ordine superiore ad $1$ per $x rarr1 $ e quindi non è integrabile
@stormy; 
per "la seconda che hai detto", comunque non sono d'accordo sul fatto che sia campato in aria. Mi pare di capire che Frink ha fatto esattamente la stessa tua analisi, usando però gli sviluppi di Taylor invece della regola di l'Hopital. Il risultato è lo stesso
per "la seconda che hai detto", comunque non sono d'accordo sul fatto che sia campato in aria. Mi pare di capire che Frink ha fatto esattamente la stessa tua analisi, usando però gli sviluppi di Taylor invece della regola di l'Hopital. Il risultato è lo stesso
"Frink":
Ho ancora un dubbio sul seguente integrale improprio
$ int_(2pi)^(+oo) |sin(x)|/x dx $
Vedi qui e qui.
"dissonance":
@stormy;
francamente, a me non sembra che si possa dire che $x(x-1)-lnx=x(x+1)-ln(1+x)$
Ma infatti la variabile di limite è stata cambiata e poi rinominata come all'inizio.
Dato che la variabile di limite è saturata, cioè il risultato non dipende dal nome della variabile, ciò si può fare.
Dato che la variabile di limite è saturata, cioè il risultato non dipende dal nome della variabile, ciò si può fare.
sì,hai ragione
non mi ero accorto che avesse cambiato il punto di accumulazione e mi ero fermato al primo passaggio
sorry
non mi ero accorto che avesse cambiato il punto di accumulazione e mi ero fermato al primo passaggio
sorry
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