Convergenza integrali impropri
Non ho ben capito un paio d'esercizi riguardo la convergenza degli integrali impropri. Il primo è questo:
Studiare la convergenza dell'integrale:
$ int_(0)^(+∞ ) ((1 -cosx)/(x^2log(1+x^(1/3)))) dx $
Allora, spezzo l'integrale da 0 a b e da b a +∞
quando qui x->0 la funzione è asintotica a $ 1/(2(x)^(1/3)) $ e quindi converge
quando invece x-> +∞ uso il teorema del confronto e la funzione la minoro con $ 2/(x^2log(1+(x)^(1/3)) $ che è minore a sua volta di $ 2/(x^2) $ che è dunque convergente. E così alla fine l'integrale risulta convergente. E' giusto, o sbaglio in qualcosa?
Il secondo è questo: (sempre da studiare la convergenza rispetto ad a)
$ int_(0)^(Pi/4) (x^a -tgx)/(senx)^2 dx $
Allora in questo caso c'è singolarità solamente in 0, se spezzo però l'integrale nella somma di due integrali e li studio separatamente, trovo che tgx/(senx)^2 è asintotico ad 1/x che in questo caso diverge..e quindi l'integrale intero dovrebbe divergere. Sbaglio?
Studiare la convergenza dell'integrale:
$ int_(0)^(+∞ ) ((1 -cosx)/(x^2log(1+x^(1/3)))) dx $
Allora, spezzo l'integrale da 0 a b e da b a +∞
quando qui x->0 la funzione è asintotica a $ 1/(2(x)^(1/3)) $ e quindi converge
quando invece x-> +∞ uso il teorema del confronto e la funzione la minoro con $ 2/(x^2log(1+(x)^(1/3)) $ che è minore a sua volta di $ 2/(x^2) $ che è dunque convergente. E così alla fine l'integrale risulta convergente. E' giusto, o sbaglio in qualcosa?
Il secondo è questo: (sempre da studiare la convergenza rispetto ad a)
$ int_(0)^(Pi/4) (x^a -tgx)/(senx)^2 dx $
Allora in questo caso c'è singolarità solamente in 0, se spezzo però l'integrale nella somma di due integrali e li studio separatamente, trovo che tgx/(senx)^2 è asintotico ad 1/x che in questo caso diverge..e quindi l'integrale intero dovrebbe divergere. Sbaglio?
Risposte
Il primo è ok, ma per il secondo devi discutere il parametro; qando $x\to0$
\begin{align}
\frac{x^{\alpha}-\tan x}{\sin^2 x}\sim
\begin{cases}
\mbox{se }\,\,\,\alpha>1:\quad\displaystyle\frac{x^{\alpha}- x}{x^2}=\frac{x\left(x^{\alpha-1}- 1\right)}{x^2}\sim\frac{1}{x}\to\mbox{diverge;}\\\\
\mbox{se }\,\,\,\alpha=1:\quad\displaystyle\frac{x - x-x^3/3+o(x^3)}{x^2}=-\frac{x }{3} \to\mbox{covverge in quanto continua;}\\\\
\mbox{se }\,\,\,\alpha<1:\quad\displaystyle\frac{x^{\alpha}- x}{x^2}=\frac{x^{\alpha}\left(1-x^{1-\alpha } \right)}{x^2}\sim\frac{1}{x^{2-\alpha}}\to\mbox{converge se $\alpha>1$,} \\ \mbox{quindi non converge.}
\end{cases}
\end{align}
In definitiva quell'integrale coverge solo per $\alpha=1.$
\begin{align}
\frac{x^{\alpha}-\tan x}{\sin^2 x}\sim
\begin{cases}
\mbox{se }\,\,\,\alpha>1:\quad\displaystyle\frac{x^{\alpha}- x}{x^2}=\frac{x\left(x^{\alpha-1}- 1\right)}{x^2}\sim\frac{1}{x}\to\mbox{diverge;}\\\\
\mbox{se }\,\,\,\alpha=1:\quad\displaystyle\frac{x - x-x^3/3+o(x^3)}{x^2}=-\frac{x }{3} \to\mbox{covverge in quanto continua;}\\\\
\mbox{se }\,\,\,\alpha<1:\quad\displaystyle\frac{x^{\alpha}- x}{x^2}=\frac{x^{\alpha}\left(1-x^{1-\alpha } \right)}{x^2}\sim\frac{1}{x^{2-\alpha}}\to\mbox{converge se $\alpha>1$,} \\ \mbox{quindi non converge.}
\end{cases}
\end{align}
In definitiva quell'integrale coverge solo per $\alpha=1.$
Capito, grazie mille 
Ho un altro problema riguardo due esercizi d'esame, che riguardano lo stesso argomento.
Il primo:
Determinare i valori di α per cui il seguente integrale improprio è convergente, e calcolarlo per α=1.
L'integrale è questo:
$ int_(1)^(+∞) ((Pi/2)^alpha -(arctgx)^alpha )/(x)^(2alpha ) dx $
In questo esercizio vedo che la funzione integranda, è continua nell'intervallo [1, +∞) e dunque, l'unica possibile singolarità si ha per la non limitatezza dell'intervallo d'integrazione quindi a +∞. Come posso continuare però?
Il secondo:
Dire se gli integrali impropri In = $ int_(0)^(+∞) cos(x/n)/(1+x^2 ) dx $ convergono e calcolare $ lim_(n -> +∞) In $
In quest'altro, la funzione integranda è sempre continua in [0, +∞) e quindi devo verificare la singolarità a +∞
ora proseguo dicendo che :
$ |cos(x/n)|/(1+x^2) <= 1/(1+x^2) $
ora, poichè la funzione a destra della diseguaglianza tra 0 e +∞ converge allora convergerà anche In.
Fin qui è giusto?. Poi come posso calcolarlo l'integrale?
Grazie.
Il primo:
Determinare i valori di α per cui il seguente integrale improprio è convergente, e calcolarlo per α=1.
L'integrale è questo:
$ int_(1)^(+∞) ((Pi/2)^alpha -(arctgx)^alpha )/(x)^(2alpha ) dx $
In questo esercizio vedo che la funzione integranda, è continua nell'intervallo [1, +∞) e dunque, l'unica possibile singolarità si ha per la non limitatezza dell'intervallo d'integrazione quindi a +∞. Come posso continuare però?
Il secondo:
Dire se gli integrali impropri In = $ int_(0)^(+∞) cos(x/n)/(1+x^2 ) dx $ convergono e calcolare $ lim_(n -> +∞) In $
In quest'altro, la funzione integranda è sempre continua in [0, +∞) e quindi devo verificare la singolarità a +∞
ora proseguo dicendo che :
$ |cos(x/n)|/(1+x^2) <= 1/(1+x^2) $
ora, poichè la funzione a destra della diseguaglianza tra 0 e +∞ converge allora convergerà anche In.
Fin qui è giusto?. Poi come posso calcolarlo l'integrale?
Grazie.
"Maryse":
Ho un altro problema riguardo due esercizi d'esame, che riguardano lo stesso argomento.
Il primo:
Determinare i valori di α per cui il seguente integrale improprio è convergente, e calcolarlo per α=1.
L'integrale è questo:
$ int_(1)^(+∞) ((Pi/2)^alpha -(arctgx)^alpha )/(x)^(2alpha ) dx $
In questo esercizio vedo che la funzione integranda, è continua nell'intervallo [1, +∞) e dunque, l'unica possibile singolarità si ha per la non limitatezza dell'intervallo d'integrazione quindi a +∞. Come posso continuare però?
a vista d'occhio, ma per essere più sicuro dovrei mettermi a farlo con calma, io proverei ad usare la formula magica dell'arcotangente, cioè $\arctan(x)+\arctan(1/x)=\pi/2$
Oddio questa non la ricordavo xD ..
altrimenti?
altrimenti?
Potresti provare a spezzare l'integrale come segue:
$int_(1)^(+oo) (pi/2)^\alpha/x^(2\alpha) dx-int_(1)^(+oo) arctan(x)^\alpha/x^(2\alpha)dx$
A questo punto, valutare il primo integrale dovrebbe essere banale, mentre per il secondo mi pare di poter osservare che per $x->+oo$:
$arctan(x)^\alpha/x^(2\alpha) ∼ (pi/2)^\alpha/x^(2\alpha)$
Quindi se non ho fatto errori questo integrale converge per $\alpha>1/2$
( Ma non fidarti, non faccio analisi da un bel po)
$int_(1)^(+oo) (pi/2)^\alpha/x^(2\alpha) dx-int_(1)^(+oo) arctan(x)^\alpha/x^(2\alpha)dx$
A questo punto, valutare il primo integrale dovrebbe essere banale, mentre per il secondo mi pare di poter osservare che per $x->+oo$:
$arctan(x)^\alpha/x^(2\alpha) ∼ (pi/2)^\alpha/x^(2\alpha)$
Quindi se non ho fatto errori questo integrale converge per $\alpha>1/2$
( Ma non fidarti, non faccio analisi da un bel po)
La soluzione purtroppo non la so, essendo un esercizio dello scorso esame..ma comunque, avevo pensato anche io a svolgerlo come hai scritto tu, ovvero spezzandolo. Non dovrebbe essere sbagliato così...magari se qualcuno ce lo conferma xD
quest'integrali impropri, mi stanno mandando al manicomio ç.ç
quest'integrali impropri, mi stanno mandando al manicomio ç.ç
Una cosa: Se io ho un integrale come l'ultimo proposto e che ha provato a svolgere Obidream, posso dividerlo in due integrali e studiare la convergenza di entrambi rispetto la $ alpha $ ?
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