Convergenza integrali generalizzati

[Rsf97]

Salve ragazzi,
non riesco a determinare per quali alpha convergono i seguenti integrali generalizzati:
$\int_-1^1 1/(1-x^2)^alpha dx$

$\int_-1^infty 1/(x+1)^alpha dx$
Ringrazio in anticipo chi potrà aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao Rsf97,

Per il primo integrale improprio proposto, il problema è in entrambi gli estremi di integrazione, ma la funzione integranda è pari, per cui si ha:

$\int_-1^1 1/(1-x^2)^alpha dx = 2 \int_0^1 1/(1-x^2)^alpha dx = 2 \int_0^1 frac{1}{(1-x)^alpha (1+x)^alpha} dx $

Riferendoti agli integrali impropri notevoli dovresti riuscire a determinare facilmente che l'integrale improprio proposto converge per $\alpha < 1 $
Per quanto riguarda il secondo integrale improprio proposto, lo dividerei così:

$\int_-1^{+infty} 1/(x+1)^alpha dx = \int_-1^0 1/(x+1)^alpha dx + \int_0^{+infty} 1/(x+1)^alpha dx $

Anche in questo caso, riferendoti agli integrali impropri notevoli, dovresti riuscire a determinare facilmente che non esiste alcun valore di $\alpha $ per il quale l'integrale improprio proposto converge.

[Rsf97]

Grazie mille!