Convergenza Integrali
Ragazzi ho provato a far questi 3 esercizi ma non so se sono giusti o se ho fatto passaggi sbagliati quindi vi sarei grato se li controllaste ed eventualmente mi asiutaste a risolverli.
1)Stabilire se converge o meno l'integrale improprio:
$ int_(0)^(oo) arctan((tlnt)/(t^2+1))dt $
SVOLGIMENTO:
Per questo integrale ho trovato che il dominio della funzione è$D=]-oo;00;+oo[$. Studiando il segno vedo che la funzione è positiva nell'intervallo $]0;+oo[$. Questo è un doppio integrale improprio quindi dobbiamo calcolare per vedere se converge o meno i seguenti limiti : a)$lim_(t->0^+)arctan((tlnt)/(t^2+1))dt$: Per questo limite abbiamo che $arctanx~_0x=(tlnt)/(t^2+1)$. Ora a questo punto ho provato a fare dei calcoli e ottenevo $t/(t^2+1)=0$ per $x->0^+$ Quindi converge?
b)$lim_(t->+oo)arctan((tlnt)/(t^2+1))dt$:Per questo invece mi era venuto un calcolo strano e ho lasciato stare, non so come farlo. Che posso fare?
2)Stabilire se converge o no il seguente integrale ed eventualmente calcolarlo:
$ int_(0)^(oo) e^(-x)tan(e^(-x)dx $
SVOLGIMENTO: Il dominio della funzione è per tutto lìinsieme dei numeri reali anche perchè la tangente è definita su tutto $RR$ tranne che per $(pi/2)+kpi$ ma in questo caso l'argomento della tangente è $e^(-x)$ quindi continuo in $RR$ o sbaglio?
La funzione è localmente integrabile in $[0;+oo[$ e quindi facciamo $lim_(y->+oo)int_(0)^(y) e^(-x)tan(e^(-x)dx$. La funzione $e^(-x)tan(e^(-x)$ la trattiamo che le equivalenze e abbiamo che per $x->+oo$ l'argomento della tangente tede a 0 quindi $tan(e^(-x))~_(+oo)e^(-x)$ quindi abbiamo $e^(-2x)=1/(e^(+2x))$ Poichè è un infinitesimo lo confrontiamo con $1/x^(alpha)$ e otteniamo che poichè per x tendente a infinito l'esponenziale è sempre di ordine maggiore sella potenza quindi ordine $alpha>1$ quindi l'integrale converge. Giusto? Per calcolarlo ho provato qualcosa ma non mi riesce.
3)Dire se converge o no l'integrale improprio:
$ int_(0)^(1)log(1-logx)dx $
SVOLGIMENTO: Il dominio di questa funzione è $]0,1[$ quindi anche quì devo calcolare i due limiti, il primo tendente a 0 da destra e l'altro a 1 da sinistra. a)$lim_(x->0^+)log(1-logx)$ Abbiamo che $log(1-logx)~_0-logx$ Quindi il limite è $+oo$ che confrontiamo con $1/(x-0)$ ottenendo $lim_(x->0^+)-x^(alpha)logx=0$ quindi è di ordine maggiore ad ogni potenza di x quindi converge.
b)$lim_(x->1^-)log(1-logx)=0$ poichè resta $log1=0$. Che significa questo? E' giusto il ragionamento? Devo continuare?
P.S.
Ragazzi se quello che ho scritto non è giusto significa che ho le idee confuse su questo argomento perchè come vi ripeto ho un libro abbastanza confuso anche lui e ormai è tardi per cambiarlo in quanto ho l'esame tra qualche giorno quindi vi chiedo se perfavore potete riassumermi in modo chiaro il modo di risoluzione di questo tipo di integrali.
Grazie anticipatamente
1)Stabilire se converge o meno l'integrale improprio:
$ int_(0)^(oo) arctan((tlnt)/(t^2+1))dt $
SVOLGIMENTO:
Per questo integrale ho trovato che il dominio della funzione è$D=]-oo;00;+oo[$. Studiando il segno vedo che la funzione è positiva nell'intervallo $]0;+oo[$. Questo è un doppio integrale improprio quindi dobbiamo calcolare per vedere se converge o meno i seguenti limiti : a)$lim_(t->0^+)arctan((tlnt)/(t^2+1))dt$: Per questo limite abbiamo che $arctanx~_0x=(tlnt)/(t^2+1)$. Ora a questo punto ho provato a fare dei calcoli e ottenevo $t/(t^2+1)=0$ per $x->0^+$ Quindi converge?
b)$lim_(t->+oo)arctan((tlnt)/(t^2+1))dt$:Per questo invece mi era venuto un calcolo strano e ho lasciato stare, non so come farlo. Che posso fare?
2)Stabilire se converge o no il seguente integrale ed eventualmente calcolarlo:
$ int_(0)^(oo) e^(-x)tan(e^(-x)dx $
SVOLGIMENTO: Il dominio della funzione è per tutto lìinsieme dei numeri reali anche perchè la tangente è definita su tutto $RR$ tranne che per $(pi/2)+kpi$ ma in questo caso l'argomento della tangente è $e^(-x)$ quindi continuo in $RR$ o sbaglio?
La funzione è localmente integrabile in $[0;+oo[$ e quindi facciamo $lim_(y->+oo)int_(0)^(y) e^(-x)tan(e^(-x)dx$. La funzione $e^(-x)tan(e^(-x)$ la trattiamo che le equivalenze e abbiamo che per $x->+oo$ l'argomento della tangente tede a 0 quindi $tan(e^(-x))~_(+oo)e^(-x)$ quindi abbiamo $e^(-2x)=1/(e^(+2x))$ Poichè è un infinitesimo lo confrontiamo con $1/x^(alpha)$ e otteniamo che poichè per x tendente a infinito l'esponenziale è sempre di ordine maggiore sella potenza quindi ordine $alpha>1$ quindi l'integrale converge. Giusto? Per calcolarlo ho provato qualcosa ma non mi riesce.
3)Dire se converge o no l'integrale improprio:
$ int_(0)^(1)log(1-logx)dx $
SVOLGIMENTO: Il dominio di questa funzione è $]0,1[$ quindi anche quì devo calcolare i due limiti, il primo tendente a 0 da destra e l'altro a 1 da sinistra. a)$lim_(x->0^+)log(1-logx)$ Abbiamo che $log(1-logx)~_0-logx$ Quindi il limite è $+oo$ che confrontiamo con $1/(x-0)$ ottenendo $lim_(x->0^+)-x^(alpha)logx=0$ quindi è di ordine maggiore ad ogni potenza di x quindi converge.
b)$lim_(x->1^-)log(1-logx)=0$ poichè resta $log1=0$. Che significa questo? E' giusto il ragionamento? Devo continuare?
P.S.
Ragazzi se quello che ho scritto non è giusto significa che ho le idee confuse su questo argomento perchè come vi ripeto ho un libro abbastanza confuso anche lui e ormai è tardi per cambiarlo in quanto ho l'esame tra qualche giorno quindi vi chiedo se perfavore potete riassumermi in modo chiaro il modo di risoluzione di questo tipo di integrali.
Grazie anticipatamente
Risposte
Nel primo, quando controlli per $x->0$, come hai fatto a passare da $(tlnt)/(t^2 + 1)$ a $t/(t^2 + 1)$ ?
In qualunque caso, anche secondo il tuo ragionamento, per quel limite non converge, in quanto hai 1 al denominatore, e un infinitesimo di ordine 1 al numeratore.
Secondo me potevi già concludere dicendo che $(tlnt)/(t^2 + 1)$ è infinitesimo di grado 1.
Per la seconda parte, hai che l' arctg è di nuovo infinitesimo, perchè $tlogt$ ha ordine di infinito minore di $t^2$
Il secondo è giusto.
Sul terzo non mi torna il primo passaggio che hai fatto. cosa significa: $log(1 - logx) \sim 0$ ? non è un infinitesimo quello. $logx$ va a $-\infty$
In qualunque caso, anche secondo il tuo ragionamento, per quel limite non converge, in quanto hai 1 al denominatore, e un infinitesimo di ordine 1 al numeratore.
Secondo me potevi già concludere dicendo che $(tlnt)/(t^2 + 1)$ è infinitesimo di grado 1.
Per la seconda parte, hai che l' arctg è di nuovo infinitesimo, perchè $tlogt$ ha ordine di infinito minore di $t^2$
Il secondo è giusto.
Sul terzo non mi torna il primo passaggio che hai fatto. cosa significa: $log(1 - logx) \sim 0$ ? non è un infinitesimo quello. $logx$ va a $-\infty$
Grazie per le risposte. Sono contento che almeno ho capito come si risolvono questo tipo di integrali.
1) Per quanto riguarda il primo quindi è giusto che devo considerare i due limiti che tendono agli estremi? Quindi il risultato è che per $t->o^+$ diverge e per $t->+oo$ converge?
3)Per il terzo io pensavo, ma evidentemente mi sbaglio, che la forma $log(1-logx)$ fosse uguale alla forma $log(1+x)~_0x$ dove a x sostituisco $-logx$, invece ora che ci penso posso sommare e sottrarre uno ed avere questa forma $log(1-logx)+1-1$ con $(1-logx)=y$ e quindi avere $log(y+1)~_0y=1-logx$ quindi ho $1-1-logx=-logx$ che per $x->0^+$ tende a $-oo$ quindi è $-(-oo)$ quindi non è $+oo$? Quindi per quello che ho detto prima converge nel primo caso e nel secondo? che faccio?
A questo punto voglio fare un riassuntino sulla risoluzione di questi tipi di integrali:
1)Guardo la funzione integranda e l'intervallo di integrazione che mi si chiede di analizzare.
2)Calcolo il Dominio della funzione e vedo se è un dominio del tipoa) $[a;+oo[$ b) $[a;b[$ c) $]a;+oo[$ d) $]a;b[$ epoi quelli da meno infinito ecc..
3) A questo punto considero, se l'intervallo è del tipo a o b e la funzione è localmente integrabile nell'intervallo, faccio nel caso a)$lim_(x->+oo)f(x)$ e nel caso b)$lim_(x->b^-)f(x)$ In questi due casi, utilizzando calcoli algebrici e equivalenze ecc.. cerco di calcolare il limite e vedo se la funzione è un infinitesimo e la confronto con la funzione che si utilizza per il confronto determinando l'ordine della funzione che se è $alpha>1$ Converge, $0
Ho detto bene o ho scritto cavolate?
1) Per quanto riguarda il primo quindi è giusto che devo considerare i due limiti che tendono agli estremi? Quindi il risultato è che per $t->o^+$ diverge e per $t->+oo$ converge?
3)Per il terzo io pensavo, ma evidentemente mi sbaglio, che la forma $log(1-logx)$ fosse uguale alla forma $log(1+x)~_0x$ dove a x sostituisco $-logx$, invece ora che ci penso posso sommare e sottrarre uno ed avere questa forma $log(1-logx)+1-1$ con $(1-logx)=y$ e quindi avere $log(y+1)~_0y=1-logx$ quindi ho $1-1-logx=-logx$ che per $x->0^+$ tende a $-oo$ quindi è $-(-oo)$ quindi non è $+oo$? Quindi per quello che ho detto prima converge nel primo caso e nel secondo? che faccio?
A questo punto voglio fare un riassuntino sulla risoluzione di questi tipi di integrali:
1)Guardo la funzione integranda e l'intervallo di integrazione che mi si chiede di analizzare.
2)Calcolo il Dominio della funzione e vedo se è un dominio del tipoa) $[a;+oo[$ b) $[a;b[$ c) $]a;+oo[$ d) $]a;b[$ epoi quelli da meno infinito ecc..
3) A questo punto considero, se l'intervallo è del tipo a o b e la funzione è localmente integrabile nell'intervallo, faccio nel caso a)$lim_(x->+oo)f(x)$ e nel caso b)$lim_(x->b^-)f(x)$ In questi due casi, utilizzando calcoli algebrici e equivalenze ecc.. cerco di calcolare il limite e vedo se la funzione è un infinitesimo e la confronto con la funzione che si utilizza per il confronto determinando l'ordine della funzione che se è $alpha>1$ Converge, $0
Ho detto bene o ho scritto cavolate?
Ah proposito ragazzi, stavo guardando un esercizio svolto di questo tipo$ int_()^()x/(sqrt(x^2+5)^3)dx$ che loro risolvono in questo modo ( vi dico solo il primo passaggio) :$ 1/2 int_()^()2x(x^2+5)^(-3/2)dx=1/2((x^2+5)^(-1/2))/(-1/2)+c$. Dove va a finire il termine $2x$? che tipo di integrazione usano? Perchè si fa questa cosa di moltiplicare e dividere per 2?
sul primo diverge anche a $+\infty$, perchè come vedi hai un rapporto di infiniti, ma avento $logx/x$, questo sarà sicuramente un infinitesimo di ordine $<=1$ quindi divergente. In quanlunque caso, se trovi che una parte dell' integrele diverge, diverge tutto l' integrale.
Sul terzo, perchè hai fatto quella sostituzione ? Otterresti semplicemente: $log(y) + 1 - 1$
Poi la tecnica che hai scritto sotto va bene, ma in genere il punto non viene richiesto, e comunque non serve ai fini del calcolo della convergenza.
Sul terzo, perchè hai fatto quella sostituzione ? Otterresti semplicemente: $log(y) + 1 - 1$
Poi la tecnica che hai scritto sotto va bene, ma in genere il punto non viene richiesto, e comunque non serve ai fini del calcolo della convergenza.
1) Per il primo esercizio $(tlnt)/(t^2+1)$ lo posso vedere come $(logx)/(x)$ e poichè il logaritmo è un infinito di ordine inferiore a qualunque x quindi $alpha<1$ Diverge ci samo adesso?
3)Che cosa potrei fare allora?
Per quanto riguarda la guida alla risoluzione ho letto una bella guida con esercizi svolti di integrali impropri. Ho capito molte cose e mi sono chiarito le idee. A questo punto potrei dire meglio che
1)Controlliamo se nell'intervallo di integrazione richiesto la funzione è continua e se vi è qualche punto in cui non lo è spezziamo l'integrale calcolando ognuno di essi separatamente.
2)Attraverso le equivalenze facciamo il limite della funzione per x tendente a dove deve tendere e stabiliamo se converge o meno.
3)Adesso possiamo calcolare l'integrale improprio partendo dall'integrale iniziale e usando le proprietà dell'integrale, sostituzioni, int. per parti eccc..
4)Adesso calcoliamo i limiti per gli integrali risolti e stabiliamo il valore al quale converge.
Va bene così?
E per quanto riguarda quella cosa di moltiplicare e dividere per 2? perchè?
3)Che cosa potrei fare allora?
Per quanto riguarda la guida alla risoluzione ho letto una bella guida con esercizi svolti di integrali impropri. Ho capito molte cose e mi sono chiarito le idee. A questo punto potrei dire meglio che
1)Controlliamo se nell'intervallo di integrazione richiesto la funzione è continua e se vi è qualche punto in cui non lo è spezziamo l'integrale calcolando ognuno di essi separatamente.
2)Attraverso le equivalenze facciamo il limite della funzione per x tendente a dove deve tendere e stabiliamo se converge o meno.
3)Adesso possiamo calcolare l'integrale improprio partendo dall'integrale iniziale e usando le proprietà dell'integrale, sostituzioni, int. per parti eccc..
4)Adesso calcoliamo i limiti per gli integrali risolti e stabiliamo il valore al quale converge.
Va bene così?
E per quanto riguarda quella cosa di moltiplicare e dividere per 2? perchè?
"AlexlovesUSA":
Ah proposito ragazzi, stavo guardando un esercizio svolto di questo tipo$ int_()^()x/(sqrt(x^2+5)^3)dx$ che loro risolvono in questo modo ( vi dico solo il primo passaggio) :$ 1/2 int_()^()2x(x^2+5)^(-3/2)dx=1/2((x^2+5)^(-1/2))/(-1/2)+c$. Dove va a finire il termine $2x$? che tipo di integrazione usano? Perchè si fa questa cosa di moltiplicare e dividere per 2?
applica semplicemente la formula di integrazione:
$ int_()^() f'(t)f^n(t)dt = (f^(n+1)(t))/(n+1) $
nel tuo esempio affinché tu possa applicare questa formula dovevi semplicemente ricavare la derivata di $(x^2+5)^-(3/2)$ e poichè $x$ è presente era sufficiente moltiplicare e dividere per la stessa quantità cioè 2;)
"AlexlovesUSA":
1) Per il primo esercizio $(tlnt)/(t^2+1)$ lo posso vedere come $(logx)/(x)$ e poichè il logaritmo è un infinito di ordine inferiore a qualunque x quindi $alpha<1$ Diverge ci samo adesso?
da quello che hai scritto non so se hai cpait bene il discorso. Voglio dire, per avere convergenza devi essere nel caso $1/x^a$ con $a > 1$. Invece nel tuo caso, $a = 1$, e al numeratore hai anche una funzione che fa all' inifinito, uqindi in un certo senso "abbassa" il valore di $a$ che è già minore di 1. Quindi è come dire che la presenza del logaritmo è ininfluente per decidere se quell' integrale converge o meno.
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