Convergenza integrale teoremi confronto

[Sermazzo]

Non riesco a dimostrare se questo integrale converga o meno:
$\int_0^{+\infty} (e^(x/(1+x))-cosx)^(-1/2)tan(1/(1+x)) dx$

Io ho iniziato così: prima di tutto provo che la funzione integranda è definitivamente positiva in $(0,+\infty)$
$e^(x/(1+x))>1 \forallx>0\Leftrightarrowe^(x/(1+x))>cosx \forallx>0$, ovvero $(e^(x/(1+x))-cosx)^(-1/2)>0 \forallx>0$
inoltre $0<1/(x+1)<1<\pi/2 \forallx>0$ quindi anche $tan(1/(1+x))>0\forallx>0$

Osservo ora che $f(1)=(e^(1/2)-cos1)^(-1/2)tan(1/2)\in\mathbb{R}$, quindi la funzione è continua in $[0,+\infty)$ e di conseguenza Riemann-integrabile in $[0,a]\foralla\in(0,+infty)$. È percio da verificare la convergenza dell'integrale in $[0,+\infty)$.

Sono quindi verificate le ipotesi per applicare i teoremi di confronto, ma ora? Io calcolerei il limite della funzione per $x->\+infty$, per vedere se la funzione è infinita o infinitesima in +infinito e regolarmi di conseguenza per il criterio da applicare. A lezione esercizi del genere vengono risolti anche applicando Taylor, ma non saprei dove mettere mani in questo caso. Un aiutino?

[quantunquemente]

osserverei che in un intorno di $+infty$ sicuramente esiste $A>0$ tale che il primo fattore dell'integrando sia maggiore di $A$
inoltre $ tan(1/(1+x))~ 1/(1+x) $
dovrebbe bastare per trarre una conclusione

[Sermazzo]

"quantunquemente":osserverei che in un intorno di $+infty$ sicuramente esiste $A>0$ tale che il primo fattore dell'integrando sia maggiore di $A$

Perché questo? E come dovrei utilizzarlo? Un altro aiutino