Convergenza integrale su intervallo aperto

[igorravasi]

Ho questo integrale:

\(\displaystyle
\int_0^1 \! \frac{\sqrt{sin(x)}}{x^2 + arctan(x)} \, \mathrm{d}x
\)
e questo
\(\displaystyle
\int_1^\infty \! \frac{\sqrt{|sin(x)|}}{x^2 + arctan(x)} \, \mathrm{d}x
\)

e per entrambi devo studiare se convergono o no.

Ricondurmi alla definizione di integrale improprio, ovvero (per il primo) fare il limite per a che tende a zero dell'integrale definito tra a e 1 comporterebbe calcolare l'integrale indefinito ma mi sembra che non sia alla mia portata.

Pertanto ho pensato di trovare per il primo una funzione sempre maggiore, con integrale convergente (dato che da fonti esterne so che converge), ma non ne trovo una! E per il secondo sono in alto mare uguale.

[gugo82]

Criterio del confronto asintotico, no?

[igorravasi]

Innanzitutto ti ringrazio per la pronta risposta, ma sarà per l'agitazione ma non riesco a trovare comunque una funzione valida!

edit:anzi, per il primo potrei confrontare con\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{x^2 + x} \)che è maggiore della funzione integranda data, ed è asintotica a \(\displaystyle f(x)=1 \), pertanto studio l'integrale di 1 tra 0 e 1, che è 1, e quindi ho dimostrato la convergenza. ?
per il secondo \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^2 + arctan(x)} \) dato che la radice del modulo del seno di x è compresa tra 0 e 1 e pertanto minore o uguale a 1, inoltre la \(\displaystyle g(x) \) per x all'infinito è asintotica a \(\displaystyle h(x)=\frac{1}{x^2 + \frac{\pi}{2}} \) che è minore di \(\displaystyle i(x)=\frac{1}{x^2} \), studio l'integrale di questa i(x) tra 1 e più infinito, e trovo che converge a 1, quindi l'integrale della integranda di partenza mi converge

Ora il problema è, sono giusti i miei passaggi? E l'altro è: la prof. chiede inoltre successivamente di dire se la seconda funzoine integranda (quella col modulo del seno(x)) è integrabile su \(\displaystyle [0,+\infty)\) e la sua risposta è si, ma non dovrebbe essere no, dato che in 0 non è integrabile, ed è però integrabile su \(\displaystyle (0,+\infty) \), visto che l'integrale si può "spezzare" nella somma dell'integrale tra 0 e 1, e tra 1 e infinito di quella funzione. Il secondo sappiamo che converge perchè l'abbiamo visto, e per il primo basta rifare i confronti della prima funzione integranda modificandola nella seconda, ma si arriva allo stesso risultato.

[Brancaleone1]

Puoi risolverli così (considerando d'aver già studiato i domini delle due integrande):

$(1)$

$int_0^1 (sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x))text(d)x$

$lim_(x->0^+)(sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x))$\(\sim \)$sqrt(x)/(x^2+x)=(0 text( di ordine ) 1/2)/(0 text( di ordine ) 1)=+oo text( di ordine ) 1/2 => text(converge)$

$lim_(x->1^-)(sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x))= c in RR => text(converge)$

$=>$ l'integrale converge.

$(2)$

$int_1^(+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))text(d)x$

$lim_(x->1^+)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))= c in RR=> text(converge)$

$lim_(x->+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))= 0 text( di ordine ) >1 => text(converge)$

$=>$ l'integrale converge.

$(3)$

$int_0^(+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))text(d)x$

L'integranda è continua in $(0,1)$ quindi ivi integrabile. Per $x->+oo$ abbiamo già verificato che converge. E in $0$?

$lim_(x->0^+)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))$\(\sim \)$(sqrt|x|)/(x^2+x)=sqrt|x|/x= (0 text( di ordine ) 1/2)/(0 text( di ordine ) 1)=+oo text( di ordine ) 1/2 => text(converge)$

$=>$ l'integrale converge.

[igorravasi]

"Brancaleone":Puoi risolverli così (considerando d'aver già studiato i domini delle due integrande):

$ (1) $

$ int_0^1 (sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x))text(d)x $

$ lim_(x->0^+)(sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x)) $\( \sim \)$ sqrt(x)/(x^2+x)=(0 text( di ordine ) 1/2)/(0 text( di ordine ) 1)=+oo text( di ordine ) 1/2 => text(converge) $

$ lim_(x->1^-)(sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x))= c in RR => text(converge) $

$ => $ l'integrale converge.

$ (2) $

$ int_1^(+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))text(d)x $

$ lim_(x->1^+)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))= c in RR=> text(converge) $

$ lim_(x->+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))= 0 text( di ordine ) >1 => text(converge) $

$ => $ l'integrale converge.

$ (3) $

$ int_0^(+oo)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x))text(d)x $

L'integranda è continua in $ (0,1) $ quindi ivi integrabile. Per $ x->+oo $ abbiamo già verificato che converge. E in $ 0 $?

$ lim_(x->0^+)(sqrt|sin(x)|)/(x^2+arctan(x)) $\( \sim \)$ (sqrt|x|)/(x^2+x)=sqrt|x|/x= (0 text( di ordine ) 1/2)/(0 text( di ordine ) 1)=+oo text( di ordine ) 1/2 => text(converge) $

$ => $ l'integrale converge.

Grazie, i passaggi più semplici li ho capiti, ma in quanto a ordini di zero e infiniti non capisco, cioè so risolvere un limite con forme indeterminate confrontando gli ordini di infiniti e di infinitesimo ma mi sfugge il significato di

$ +oo text( di ordine ) 1/2 => text(converge) $

Mi sfugge il significato di infinito di ordine 1/2 e anche il perchè questo implichi la convergenza.
E lo stesso per le altre implicazioni

EDIT: Ora, riprendo in mano l'esercizio procedo in questo modo:

$ (1) $

$ text(per x che tende a) 0^+ (sqrtsin(x))/(x^2+arctan(x)) $\( \sim \)$ sqrt(x)/(x^2+x) $\( \sim \)$ sqrt(x)/(x)$

$ lim_(a->1^+)( int_a^1(sqrt(x)/(x)text(d)x)) = lim_(a->1^+)([-sqrt(x)]_a^1) = lim_(a->1^+) (-1 + sqrt(a)) = -1 $

$ => text(converge) => text(converge l'integrale di partenza) $

[Brancaleone1]

"underscore_":
Mi sfugge il significato di infinito di ordine 1/2 e anche il perchè questo implichi la convergenza.
E lo stesso per le altre implicazioni

Guarda qui, quo, qua!

[igorravasi]

Ti sono molto grato per avermi linkato quelle pagine che ho letto sia la tua spiegazione sulle convergenze e quella di un altro utente sugli ordini di infinito\infinitesimo e sto capendo. E ho capito che appunto faccio più fatica col mio metodo che confrontando gli ordini e basta. Il fatto è che gli esercizi che avrò in esame sono fatti per poter essere risolti col metodo più lungo (che poi è praticamente la stessa cosa del tuo, ma col tuo di deduce da prima della sostituzione la convergenza o meno) perchè a lezione ci è stato spiegato così. Ovviamente ora gli esercizi li provo a fare con entrambi i metodi per afferrare meglio il concetto, però potrei chiederti se sei così gentile da dirmi anche se il mio ultimo procedimento è corretto (e più lungo) o scorretto?

Grazie!