Convergenza integrale multiplo
Salve, tra gli esercizi di analisi ne ho uno molto difficile, si tratta di capire per quali p e q converge l'integrale
$int_[0,pi] int_[0,pi] 1 /((sinx)^p + (siny)^q)dxdy$
Io pensavo di sfruttare il fatto che sia su x che su y se spezzo gli estremi di integrazioni così: $[0,pi]=[0,delta]U[delta,pi - epsilon]U[pi - epsilon,pi]$ allora l'integrale con gli estremi $[delta,pi - epsilon]$ converge sempre, menter per epsilon e delta abbastanza piccoli posso stimare, per gli integrali calcolati tra i restanti estremi, il seno dall'alto e dal basso con la funzione $x+o(x)$. Però non so se va bene come ragionamento, poi come faccio a trattare gli $o(x)$ negli integrali?
Se questo raginamento non è applicabile non ho idea di come procedere, già ho dei dubbi riguardo alla mia facoltà di determinare per quali p e q converge $int_([0,pi]x[0,pi]) 1/(x^p + y^q)dxdy$!!
$int_[0,pi] int_[0,pi] 1 /((sinx)^p + (siny)^q)dxdy$
Io pensavo di sfruttare il fatto che sia su x che su y se spezzo gli estremi di integrazioni così: $[0,pi]=[0,delta]U[delta,pi - epsilon]U[pi - epsilon,pi]$ allora l'integrale con gli estremi $[delta,pi - epsilon]$ converge sempre, menter per epsilon e delta abbastanza piccoli posso stimare, per gli integrali calcolati tra i restanti estremi, il seno dall'alto e dal basso con la funzione $x+o(x)$. Però non so se va bene come ragionamento, poi come faccio a trattare gli $o(x)$ negli integrali?
Se questo raginamento non è applicabile non ho idea di come procedere, già ho dei dubbi riguardo alla mia facoltà di determinare per quali p e q converge $int_([0,pi]x[0,pi]) 1/(x^p + y^q)dxdy$!!
Risposte
Io cambierei prima di tutto variabile nel modo ovvio; occhio allo jacobiano.
Mmh... niente da fare, mi rimane fuori una cosa brutta: ponendo $sinx = t$ e $sin y = z$ ottengo
$4 int_0^1 1/sqrt(1-t^2) int_0^1 1/(t^p+t^q) * 1/sqrt(1-z^2) dz dt$ e non so come procedere... un aiutino?
$4 int_0^1 1/sqrt(1-t^2) int_0^1 1/(t^p+t^q) * 1/sqrt(1-z^2) dz dt$ e non so come procedere... un aiutino?
Mica tanto brutta, così hai separato le difficoltà: la prima e la terza frazione ti danno problemi in 1, mentre la frazione centrale nell'origine.
Sì, ma comunque non saprei come risolvere in quei punti, perché alla fin fine, per esempio, supponendo che si abbia, senza perdità di generalità $p-1$ (per p e q positivi). Altro non mi viene in mente, ma questa è solo una condizione sufficiente affinché la funzione $(1/(t^p + z^q))*1/(sqrt(1-z^2)$ converga intorno all'origine... mmh boh, non saprei come fare.
Ho trovato un esercizio simile, ma su un insieme un po' diverso, dove trarre spunto per risolvere la questione della convergenza della funzione $1/(t^p+t^q)$ integrata tra 0 e 1...
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... /SInt8.pdf
http://www.dm.unipi.it/~magnani/Analisi ... /SInt8.pdf
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