Convergenza integrale improprio al variare del parametro alpha
salve mi servirebbe una mano con lo studio della convergenza di questo integrale improprio al variare del parametro alpha:
$ \int_{2}^{+ \infty } {\frac{ \sinh (1/x^\alpha )(2x^3+4x+3)}{(2x-4)^(3/alpha)}} \, dx $ con $ alpha>0 $
$ \int_{2}^{+ \infty } {\frac{ \sinh (1/x^\alpha )(2x^3+4x+3)}{(2x-4)^(3/alpha)}} \, dx $ con $ alpha>0 $
Risposte
in realtà mi ero rifatta a questo integrale $ \int_{0}^{+\infty } \x^{\beta} e^{-\alphax} dx $ che avevo letto su una dispensa di analisi converge per $ \forall \alpha>0 , \forall\beta > -1 $ ma effettivamente non capisco il perchè in quanto $ \forall \alpha, \forall\beta $ la funzione può essere sempre maggiorata con $ \frac{1}{x^2}\ $. Poi per quanto riguarda $ x to 0^+ $ la funzione integranda è asintoticamente equivalente a $ \frac{1}{x^{2\alpha}\cdot e^{3\alphax}} $ perchè per quanto riguarda il numeratore $ \ x^{2\alpha}sin(1/x^{4\alpha}) $ questo è asintoticamente equivalente a $ \ x^{2\alpha}1/x^{4\alpha} $ che è uguale a $ 1/x^{2\alpha} $. Mentre per quanto riguarda il denominatore, questo è asintoticamente equivalente a $ \e^{3\alphax} $ ;quindi l'integrale di partenza è asintoticamente equivalente a $ \frac{1}{x^{2\alpha}\cdot e^{3\alphax}} $
poi non capisco neppure perchè la soluzione è $ \forall\alpha $ se comunque la traccia ci dice che $ \alpha>0 $, forse il prof (sotto)intende $\forall\alpha >0 $
poi non capisco neppure perchè la soluzione è $ \forall\alpha $ se comunque la traccia ci dice che $ \alpha>0 $, forse il prof (sotto)intende $\forall\alpha >0 $
Attenzione al numeratore! Hai che per $x \to 0^+$ l'argomento del seno tende all'infinito, quindi la stima asintotica è falsa 
l'argomento del seno deve tendere a zero per $x \to 0^+$ affinché tale stima valga.
Il resto era giusto: $e^{3\alpha x}-1$ è asintotico a $3\alpha x$ per $x \to 0^+$, devi sistemare bene il numeratore; pensaci un pochino.
Per $x \to +\infty$ invece l'argomento del seno tende a $0$ e dunque è vera la stima asintotica che hai scritto prima, come è vero che al denominatore ti rimane $e^{3\alpha x}$; quindi, per quanto ho scritto prima, come concludi?
Per quanto riguarda la dispensa non saprei, credo stia cercando di compattare in un risultato solo tutte le casistiche (sia come variano gli esponenti che i punti di discontinuità/estremo illimitato) ma dovrei mettermi a controllarla e onestamente non mi va
Per la soluzione sì, penso sottointenda per ogni $\alpha>0$ vista la premessa che $\alpha$ è strettamente positivo.
l'argomento del seno deve tendere a zero per $x \to 0^+$ affinché tale stima valga.Il resto era giusto: $e^{3\alpha x}-1$ è asintotico a $3\alpha x$ per $x \to 0^+$, devi sistemare bene il numeratore; pensaci un pochino.
Per $x \to +\infty$ invece l'argomento del seno tende a $0$ e dunque è vera la stima asintotica che hai scritto prima, come è vero che al denominatore ti rimane $e^{3\alpha x}$; quindi, per quanto ho scritto prima, come concludi?
Per quanto riguarda la dispensa non saprei, credo stia cercando di compattare in un risultato solo tutte le casistiche (sia come variano gli esponenti che i punti di discontinuità/estremo illimitato) ma dovrei mettermi a controllarla e onestamente non mi va
Per la soluzione sì, penso sottointenda per ogni $\alpha>0$ vista la premessa che $\alpha$ è strettamente positivo.
giusto, l'argomento del seno per $ x to 0^+ $ non è infinitesimo! Allora in questo caso è necessario studiare |f(x)| perchè la funzione seno all'infinito oscilla. Pertanto avremo che la funzione integranda diventa$ \int_{0}^{c } \frac{ x^{2\alpha}|sin(1/x^{4\alpha})|}{ e^{(3\alphax)}-1} dx $ che è asintoticamente equivalente a $ \int_{0}^{c } \frac{ x^{2\alpha}|sin(1/x^{4\alpha})|}{ 3\alphax} dx $ che è equivalente a $ \int_{0}^{c } \frac{|sin(1/x^{4\alpha})|}{ x^{(-2\alpha)}\cdot 3\alphax} dx $ che per il criterio del confronto è $ \leq \int_{0}^{c} \frac{1}{ x^{(-2\alpha)}\cdot 3\alphax} dx $ che converge per $-2\alpha+1<1$ ossia quando $ \alpha>0 $. Quindi la funzione integranda di partenza per $ x to 0^+ $ converge se e solo se $ \alpha>0 $
per $ x \to +\infty $ abbiamo invece che f(x) diventa $ \frac{1}{x^{2\alpha}\cdot e^{3\alphax}} $ che è del tipo $ \frac{1}{x^\beta e^{\alpha x}} $ quindi converge se $ \alpha>0, \forall\beta $
Alla fine avremo dalle intersezioni che l'integrale $ \int_{0}^{+\infty } \frac{ x^{2\alpha}sin(1/x^{4\alpha})}{ e^{(3\alphax)}-1} dx $ converge se e solo se $ \alpha>0 $. Giusto?
per $ x \to +\infty $ abbiamo invece che f(x) diventa $ \frac{1}{x^{2\alpha}\cdot e^{3\alphax}} $ che è del tipo $ \frac{1}{x^\beta e^{\alpha x}} $ quindi converge se $ \alpha>0, \forall\beta $
Alla fine avremo dalle intersezioni che l'integrale $ \int_{0}^{+\infty } \frac{ x^{2\alpha}sin(1/x^{4\alpha})}{ e^{(3\alphax)}-1} dx $ converge se e solo se $ \alpha>0 $. Giusto?
Corretto!
grandissimo! sei stato di un aiuto eccezionale! grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo